Wykład - Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna prof. zw. dr hab. Janusz Wywiał
Wykład 1
Literatura:
Z. Pawłowski „Statystyka”
Z. Hellwig „Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej”
M. Krzyśko „Statystyka matematyczna”
Rao „Modele liniowe statystyki matematycznej”
Aczel „Statystyka w zarządzaniu”
Kończak, Trzpiot „Analizy statystyczne z arkuszem kalkulacyjnym Excel”
Ostasiewicz (red.) „Statystyka
A. Zeliasz „Statystyka”
Sobczyk „Statystyka”
J. Greń „Modele statystyki matematycznej” (z.z.)
Domański „Statystyka” (z.z.)
Zieliński „7 wykładów ze statystyki matematycznej”
Funkcja gęstości n-wymiarowej zmiennej losowej o nieosobliwym rozkładzie normalnym:
,
gdzie jest wymiarowym ............................... wartości oczekiwanych.
Tw.: Jeżeli wektor losowy ma n-wymiarowy rozkład normalny , jest wektorem wielowymiarowym, oraz jest stała, to rozkład zmiennej losowej ma rozkład normalny .
Niech bezie wierszowym wektorem jednostkowym o wymiarze oraz macierzą jednostkową stopnia n. Wtedy z powyższego twierdzenia wynika, że jeżeli w szczególności: , to .
Ponadto, gdy:
, to , gdzie W końcu łatwo wykazujemy na podstawie podanego wyżej twierdzenia, że zmienna losowa ma rozkład normalny standardowy, czyli .
Ważne znaczenie ma rozkład chi-kwadrat Def.: Gdy składowe ciągu są niezależne i dla i=1...k, to zmienna losowa ma niecentralny rozkład z k stopniami swobody i parametrem niecentralności .
Gdy dla każdego i=1,...,n , co oznacza, że , to mówimy, że zmienna ma centralny rozkład z ka stopniami swobody i oznaczamy ją .
Wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej o rozkładzie określa wyrażenie .
Tw.: Jeżeli liczba stopni swobody to dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie zmierza do dystrybuanty rozkładu normalnego .
W praktyce dystrybuanta zmiennej jest dostatecznie dobrze przybliżoną dystrybuantą rozkładu normalnego, gdy .
Niech macierz H stopnia n i rzędu będzie macierzą idempotentną, czyli .
Tw.: Jeżeli , czyli X jest n-elementową próbą pochodzącą z populacji o rozkładzie normalnym standardowym, to zmienna losowa ma rozkład niecentralny , gdzie .
W szczególności, gdy to i .
Tw.: Jeżeli zmienna losowa ma nieosobliwy k-wymiarowy rozkład normalny (czyli, jest macierzą dodatnio określoną - ma dodatni wyznacznik) to zmienna losowa

(…)

… ma rozkład niecentralny , gdzie .
W szczególności, gdy to i .
Tw.: Jeżeli zmienna losowa ma nieosobliwy k-wymiarowy rozkład normalny (czyli, jest macierzą dodatnio określoną - ma dodatni wyznacznik) to zmienna losowa ma rozkład .
Rozkład Studenta (Goset  pseudonim Student)
Def.: Niech zmienna losowa i będą niezależne. Wtedy zmienna losowa ma niecentralny rozkład studenta z k stopniami swobody i parametrem…
... zobacz całą notatkę