Statystyka w rozumieniu tego wykładu to zbiór metod służących pozyskiwaniu, prezentacji, analizie danych. Co znajdziecie w środku. Pojęcie statystyki matematycznej, populacja generalna lub zbiorowość generalna, populacja generalna skończona, populacja generalna nieskończona, cecha statystyczna, badania pełne i częściowe, wnioskowanie statystyczne, empiryczny rozkład cech, zmienna losowa, dystrybuanta zmiennej losowej (skumulowane prawdopodobieństwo), rozkład chi ? kwadrat, estymacja przedziałowa parametrów, przedział ufności dla wariancji, weryfikacja hipotez statystycznych, odrzucenie hipotezy zerowej, testy dla wartości średniej populacji.
Statystyka w rozumieniu tego wykładu to zbiór metod służących
pozyskiwaniu,
prezentacji,
analizie
danych.
Celem generalnym stosowania tych metod, jest otrzymywanie, na podstawie danych, użytecznych uogólnionych informacji na temat zjawiska, którego dotyczą.
Proces pozyskiwania danych ogólnie nazywany jest badaniem statystycznym.
W ramach badania statystycznego dokonuje się obserwacji statystycznej.
POJĘCIE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
W wielu rzeczywistych sytuacjach zebranie wszystkich potencjalnych danych nie jest możliwe, a interpretacji dokonuje się na podstawie odpowiednio zebranych danych częściowych o badanym zjawisku. Taka analiza, wykorzystująca metody rachunku prawdopodobieństwa nosi nazwę statystyki matematycznej.
POPULACJA GENERALNA
Badanie statystyczne dotyczy zawsze pewnej liczby zbiorów, której elementami są obiekty materialne lub zjawiska. W statystyce matematycznej badaną zbiorowość statystyczną nazywa się populacją generalną lub zbiorowością generalną.
Populacja generalna skończona - jeżeli zbiór jej elementów jest skończony.
Przykład: zbiorowość studentów 2-go roku kierunku MiBM, zbiorowość krzeseł w sali.
Populacja generalna nieskończona dotyczy zazwyczaj zjawisk, a nie obiektów matematycznych.
Przykład: zbiorowość wyników pomiarów twardości materiału.
CECHA STATYSTYCZNA
Elementy populacji generalnej mogą mieć różne właściwości (i najczęściej miewają), które podlegają obserwacji. Te własności nazywa się cechami statystycznymi lub krótko cechami.
Przykład: w badaniu populacji ludzi np. wiek, wzrost, waga, płeć, kolor oczu, włosów, itd.
Te właściwości, które mają charakter ilościowy nazywa się cechami mierzalnymi (wzrost, waga).
Własności jakościowe (płeć, kolor włosów) nazywa się cechami niemierzalnymi.
Przeważająca część metod statystyki matematycznej dotyczy analizy cech mierzalnych.
ROZKŁAD CECHY
Jeżeli elementy populacji różnią się między sobą własnościami analizowanej cechy, to mówi się o rozkładzie cechy populacji.
BADANIA PEŁNE I CZĘŚCIOWE
Celem badania statystycznego jest na ogół poznanie rozkładu interesującej nas cechy populacji generalnej przez uzyskanie informacji o wartościach syntetycznych charakterystyk (parametrów) tego rozkładu.
Rozróżnia się dwa zasadnicze typy badań:
badania pełne obejmujące wszystkie elementy zbiorowości generalnej,
badania częściowe obejmujące część elementów populacji generalnej.
PRÓBA
Podzbiór elementów populacji generalnej podlegających badaniu nazywa się
(…)
… stałymi wchodzącymi w skład parametrów rozkładu, f(x) - jest funkcją ciągła i większą bądź równą zeru.
Funkcja gamma (całka Eulera drugiego rodzaju)
Rozkład chi - kwadrat ( )
Rozkładem o n stopniach swobody nazywamy rozkład zmiennej losowej, która jest sumą n niezależnych zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym N (0,1):
przy czym Xk ma rozkład N (0,1)
Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej…
…), to pierwszym etapem jej opracowania jest dokonanie grupowania, czyli klasyfikacji. Grupowanie polega na podziale próby na podzbiory zwane grupami lub klasami, a wartością reprezentującą poszczególne klasy są ich środki. Przedziały klasowe oraz ich liczebności, czyli liczby jednostek próby należących do danej klasy tworzą razem tzw. szereg rozdzielczy.
Aby utworzyć szereg rozdzielczy należy:
ustalić obszar…
… taka stała c∈R, że
P(X=c)=1
czyli równocześnie
P(X≠c)=0
Rozkład dwupunktowy
Zmienna losowa ma rozkład dwupunktowy, gdy istnieją takie stałe a,b∈R, że
P(X=a) = p
P(X=b) = 1 - p = q, 0<p<1
Rozkład równomierny
Zmienna losowa ma rozkład równomierny, gdy dla ciągu punktów x1<x2<...<xq prawdopodobieństwo
P(X=xk) = 1/q, k=1, 2, ... , q
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa:
Rozkład dwumianowy - Bernoulli'ego
Zmienna losowa ma rozkład dwumianowy (Bernoulli'ego), gdy funkcja rozkładu prawdopodobieństwa ma postać:
n - liczba naturalna,
p - liczba rzeczywista, p∈(0, 1)
Wartość oczekiwana (średnia): Wariancja: Przykład
Wymaganie odbiorcy pewnego wyrobu masowej produkcji stanowi, że wadliwość (obejmująca jednostki gorsze niż pierwszego gatunku) nie może przekraczać 5%. Do kontroli wylosowano 10 jednostek i poddano…
…) - standaryzowanego
Rozkład normalny jest symetryczny względem prostej
X = μ
Reguła trzech σ
Jeżeli X jest zmienną losową ciągłą o rozkładzie N(μ,σ) to zachodzi:
tzn. takie jest prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie takie wartości, które różnią się od wartości oczekiwanej μ nie więcej niż o +/- 0,3 odchylenia standardowego σ.
Rozkład wykładniczy
Zmienna losowa X ma wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)