Stabilność, ruch chaotyczny

Stabilność. Ruch chaotyczny. Stabilność oznacza ciągłą zależność od warunków początkowych. W teorii równań różniczkowych zwyczajnych stabilność jest stabilnością fizyczną
Ciągłość i różniczkowalność rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych względem parametrów zagadnienia fizycznego ( równanie + warunki brzegowo- początkowe) Rozważmy . Jest to równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu. Rozwiązanie jest funkcją współrzędnej x i parametru . Jeżeli funkcja jest funkcją ciągłą o zmiennej , wtedy mówimy, że rozwiązanie jest ciągłym względem warunków brzegowych. Stwierdzenie to ważne jest od strony fizycznej zagadnienia, bowiem pomiary zawsze wykonywane są z pewną dokładnością. Oznacza to, że wartość jest ustalona z pewnym błędem pomiarowym.
Z kolei brak ciągłości oznacza brak możliwości przewidzenia przyszłości w zagadnieniu, co należy do przypadków szczególnych. Hadamard wprowadził tzw. zagadnienie źle uwarunkowane (ill-posed problem). Występują trzy sytuacje „problemowe”:
1.rozwiązanie nie istnieje w pewnych obszarach
2. nie ma jednego rozwiązania
3. rozwiązanie nie ciągle zależy od warunków początkowych albo brzegowych Podobnie można mówić o zależności parametrów równania:
(1)
W tych przypadkach zagadnienie fizyczne jest źle uwarunkowane, lecz istnieje możliwość poprawy tego zagadnienia. Mówimy wówczas wówczas o tzw. zagadnieniach odwrotnych.
Równania różniczkowe cząstkowe (1)
gdzie (2)
(3)
Stabilność (statyczność)
Przykład: zegar wahadłowy
Określenie stabilności wg Lapunowa (1898)
Rozważmy układ równań różniczkowych (1). Załóżmy, że f nie zależy jawnie od czasu (jest to układ autonomiczny). Załóżmy, że istnieje zbiór drugich pochodnych określony jako:
, gdzie (4)
, (5)

(…)

… autonomiczny). Załóżmy, że istnieje zbiór drugich pochodnych określony jako:
, gdzie (4)
, (5)
Punkt nazywamy punktem stabilności wg Lapunowa jeśli:
1) (6) 2) (7)
3) mówimy, że a jest punktem stabilności asymptotycznej, jeżeli oraz (8)
Warunek stabilności układów liniowych (warunek wystarczający)
(9)
(10) Pytanie: Jaki punkt jest stabilny dla układu liniowego?
(11) (12)
to wartości własne macierzy A, (13…
... zobacz całą notatkę