Fragment notatki:
6.
Opis ruchu płynu idealnego i wybrane zastosowania
Jak wykazano w rozdz. 3, rozwiązanie równań opisujących ruch płynu jest w ogólnym
przypadku niemożliwe, przy czym dotyczy to zarówno równań Navier-Stokesa opisujących
ruch płynu rzeczywistego (lepkiego) jak i równań Eulera opisujących ruch płynu idealnego.
Dla równań N-S udało się znaleźć kilka rozwiązań szczególnych (patrz rozdz. 3.6), jednak
dotyczą one wyłącznie jedno lub dwuwymiarowych przepływów laminarnych, których zakres
zastosowań praktycznych jest dość ograniczony. Również i dla równania Eulera istnieje kilka
rozwiązań szczególnych, przy czym jedno z nich ma tak szeroki zakres stosowalności, że
konieczne jest poświęcenie mu odrębnego rozdziału.
6.1.
Równanie Bernoulliego dla ruchu ustalonego płynu idealnego wzdłuż linii prądu.
Poszukiwać będziemy rozwiązania równania ruchu płynu idealnego odbywającego się
→
w polu sił ciężkości, w którym pole jednostkowych sił masowych F ma potencjał U , tzn.:
→
→
F = − grad U
(4.11a)
Dodatkowo będziemy poszukiwać rozwiązania dla przepływu ustalonego, w którym
parametry nie zmieniają się z czasem, co pozwala w równ. (3.6) pominąć pochodne lokalne:
∂U y
∂U x
∂U z
=
=
= 0
∂t
∂t
∂t
i zapisać je w postaci:
∂U x
∂U x
∂U x
1 ∂p
Ux
= X−
+ Uy
+ Uz
∂z
ρ ∂x
∂x
∂y
∂U y
∂U y
∂U y
1 ∂p
= Y−
Ux
+ Uy
+ Uz
∂z
ρ ∂y
∂x
∂y
∂U z
∂U z
∂U z
1 ∂p
Ux
= Z−
+ Uy
+ Uz
∂z
ρ ∂z
∂x
∂y
Poszukiwane rozwiązanie ma opisywać zmiany energii zachodzące w przepływie wzdłuż linii
prądu, co wymaga przekształcenia powyższego równania poprzez pomnożenie kolejnych
równań przez odpowiednie przesunięcia elementarne dx, dy, dz . Jeżeli równanie Eulera jest
bilansem równowagi sił, to pomnożenie go przez elementarne przesunięcia da elementarną
pracę równoważną energii. Jednocześnie energia jako wielkość skalarna podlega zwykłemu
(tzn. algebraicznemu a nie wektorowemu) sumowaniu, co pozwala zapisać powyższe
równania w postaci:
∂U x
∂U x
∂U x
Ux
dx +
+ Uy
+ Uz
∂x
∂y
∂z
+ Ux
+ Ux
∂U y
∂x
+ Uy
∂U y
∂y
+ Uz
∂U y
dy +
∂z
∂U z
∂U z
∂U z
dz =
+ Uy
+ Uz
∂x
∂y
∂z
= Xdx + Ydy + Zdz −
1 ∂p
∂p
∂p
dx + dy + dz
∂x
ρ
∂y
∂z
Przekształcając równ. (4.11a) otrzymujemy:
Xdx + Ydy + Zdz = − dU p
gdzie potencjał U p w polu sił ciężkości wynosi:
105
(6.1)
Up
= g⋅z
Drugie z wyrażeń po prawej stronie równ. (6.1) jest również różniczką zupełną:
1 ∂p
∂p
∂p dp
− dx + dy + dz =
∂x
ρ
∂y
∂z ρ
co nakazuje przekształcić także i lewą stronę zw. (6.1) do różniczki zupełnej, gdyż w tym
przypadku możliwe będzie rozwiązanie (scałkowanie) tego równania. Wykorzystamy w tym
celu sformułowane wcześniej założenie, że rozpatrywany ruch jest ustalony co sprawia, że
równania trajektorii i linii prądu stają się tożsame i przyjmują postać:
dx dy dz
=
=
Ux U y Uz
z której uzyskać możemy następujące związki:
U y dx = U x dy
(6.2a)
U z dy = U y dz
(6.2b)
U z dx = U x dz
(6.2c)
Jeżeli założymy, że rozpatrujemy ruch odbywający się tylko wzdłuż jednej linii prądu,
wówczas pierwszy człon lewej strony równ. (6.1) przekształcić będziemy mogli następująco:
∂U x
∂U x
∂U x
Ux
dx + U y
dx + U z
dx =
∂z
∂x
∂y
U2
∂U x
∂U x
∂U x
+ U x dy
+ U x dz
= U x dU x = d x
z
∂x
∂y
∂z
Postępując analogicznie w odniesieniu do drugiego i trzeciego członu lewej strony równania
(6.1) będziemy je mogli doprowadzić do postaci:
U2 + U2 + U2
1
x
y
z
= − dU p − dp
d
ρ
2
co po uwzględnieniu wcześniej sformułowanych zależności na potencjał oraz następującego
związku:
U2 = U2 + U2 + Uz
x
y
= U x dx
prowadzi do następującej zależności:
U2
1
d
2 + dU p + ρ dp = 0
Z powyższego równania otrzymać możemy całkę lub równanie Bernoulliego:
U2
dp
(6.3)
+ ∫ + g ⋅ z = C = const
2
ρ
w którym stała C zachowuje stałą wartość wzdłuż danej linii prądu, przy czym jej wartość
może być oczywiście różna dla innych linii prądu. Najprostszą postać równania Bernoulliego
otrzymujemy dla jednorodnego płynu nieściśliwego, dla którego:
ρ = idem
co pozwala zapisać ostatecznie:
U2 p
+ + g ⋅ z = const
(6.4)
2 ρ
Łatwo stwierdzić, że powyższe równanie stanowi warunek zachowania energii
przepływającego płynu odniesionej do jednostki masy, w którym człon pierwszy przedstawia
energię kinetyczną, drugi energię potencjalną ciśnienia (energię wewnętrzną) natomiast człon
trzeci energię potencjalną położenia (sił masowych). Równanie Bernoulliego stwierdza zatem,
że w ruchu ustalonym nieściśliwego płynu idealnego odbywającym się w polu sił ciężkości,
całkowita energia płynu składająca się z energii kinetycznej oraz potencjalnej energii
106
ciśnienia i położenia jest stała wzdłuż danej linii prądu. Równanie to wyraża zatem zasadę
zachowania energii mechanicznej, przy czym często piszemy je w postaci:
U2
p
+
+ z = const
(6.5)
2g ρ ⋅ g
w której wszystkie człony mają wymiar liniowy i nazywane są wysokością prędkości (człon
pierwszy), wysokością ciśnienia (człon drugi) i wysokością położenia (człon trzeci).
Otrzymaliśmy zatem bardzo prostą metodę opisu ruchu płynu wykorzystującą zamiast układu
równań różniczkowych równanie algebraiczne kwadratowe (ze względu na prędkość) i jest to
oczywiście powodem, dla którego równanie Bernoulliego jest tak atrakcyjne. Należy jednak
pamiętać, że jego stosowalność jest obwarowana szeregiem następujących warunków:
ruch jest ustalony
rozpatrujemy płyn idealny
pole sił masowych jest potencjalne
płyn jest nieściśliwy
ruch odbywa się wzdłuż jednej linii prądu
co sprawia, że mimo atrakcyjności równania Bernoulliego wynikającej z prostoty, jego zakres
jego możliwych aplikacji jest ograniczony.
6.2.
Metodyka rozwiązywania równania Bernoulliego i jego interpretacja
W równaniu Bernoulliego występują dwie niewiadome, tzn. prędkość i ciśnienie, gdyż
gęstość traktujemy jako znaną i niezmienną:
ρ = idem
(6.5)
co wynika z przyjęcia założenia o nieściśliwości płynu. Dla uzyskania rozwiązania
koniecznym jest zatem dołożenie dodatkowych warunków (równań), którymi mogą być (patrz
rozdz. 3.2) równanie ciągłości i równanie stanu. To ostatnie równanie już wykorzystaliśmy
przyjmując założenie o nieściśliwości co pozwala nam traktować gęstość płynu jako znaną,
gdyż dana jest równaniem (6.5). Pozostaje zatem do wykorzystania równanie ciągłości, a z
uwagi na ograniczenie rozważań do linii prądu tożsamych w ruchu ustalonym z trajektoriami
elementów płynu, wykorzystać możemy równanie ciągłości sformułowane w rozdz. 2.5 dla
włókna prądu w postaci:
'
S ⋅ U = Q = idem
(2.20)
gdzie S i U oznaczają odpowiednio pole przekroju włókna i prędkość średnią, natomiast Q
jest wydatkiem płynu przepływającego przez rurkę prądu. Uwzględniając oznaczenia z rys.
2.6, dla kolejnych przekrojów włókna prądu zapisać można:
S1 ⋅ U1 = S 2 ⋅ U 2 = ... = Q = idem
(6.6)
a przyjmując, że równanie Bernoulliego ważne jest dla średniej linii prądu (np. przechodzącej
przez środki geometryczne przekrojów) możemy je zapisać następująco:
2
U1
p
U2 p2
2
+ 1 + z1 =
+
+ z 2 = ... = const
(6.7)
2g ρ ⋅ g
2g ρ ⋅ g
gdzie przyjęte oznaczenia wyjaśnione są na rys. 6.1.
Otrzymaliśmy w ten sposób układ równań (6.6) i (6.7), których rozwiązanie da nam opis
przepływu, tzn. wartość prędkości średniej i ciśnienia panującego w każdym z
rozpatrywanych przekrojów strugi.
W rozdziale poprzednim wykazaliśmy, że równanie Bernoulliego jest warunkiem
zachowania energii mechanicznej a poszczególne człony tego równania odpowiadają różnym
rodzajom energii potencjalnej i kinetycznej. W przepływie płynu idealnego interpretację
równania Bernoulliego zilustrowano na rys. 6.1, umieszczając rurkę prądu o stałym przekroju
w przestrzeni wypełnionej płynem. Własności rurki prądu omówione w rozdz. 2.4 pozwalają
ją traktować jak rzeczywisty kanał transportujący płyn. Jeżeli w przekrojach 1-1 oraz 2-2
umieścimy rurki manometryczne (nazywane często piezometrycznymi), wówczas poziomy
cieczy w tych rurkach odpowiadać będą panującym tam ciśnieniom. Jeżeli przyjmiemy, że
107
ciecz w rurce prądu jest nieruchoma, wówczas zgodnie z zasadą naczyń połączonych w
obydwu rurkach manometrycznych wzniesie się ona do wysokości swobodnej powierzchni, a
równanie Bernoulliego będzie miało postać:
'
p1
p '2
+ z1 =
+ z2
(6.8)
ρ⋅g
ρ⋅g
'
w której p1 i p '2 będą odpowiednimi ciśnieniami hydrostatycznymi, tzn.:
'
p1
= ρ ⋅ g ⋅ h1
p '2
= ρ⋅g ⋅ h2
jak wynika to z rys. 6.1a.
a)
1
z1
S1
1
h
S1= S2
2
2
z2
b)
2
h1
S1
p1
ρg
1
2
U1
2g
U2
2g
h2
pd
z1
p2
ρg
1
h
S 1= S 1
2
pd
2
z2
Rys.6.1.
Oznaczenia przyjęte w równaniu Bernoulliego dla strugi a) oraz interpretacja
członów równania w przepływie b).
Jeżeli natomiast w rurce prądu płyn przemieszczać się będzie ze średnią prędkością
U , wówczas część energii potencjalnej ciśnienia zamieni się w energię kinetyczną
108
poruszającego się płynu co oznacza, że w obydwu rurkach manometrycznych poziom cieczy
opadnie o:
2
U1
U2
U2
2
=
=
2g
2g
2g
co pokazano na rys. 6.1b. Dla tego przypadku równanie Bernoulliego przyjmie postać:
2
U 1 p1
U2 p2
2
+
+ z1 =
+
+ z2
(6.9)
2g ρ g
2g ρ g
Ponieważ płyn opisany powyższym równaniem nie znajduje się w stanie równowagi
statycznej, stąd też ciśnienia p1 i p 2 nie są ciśnieniami hydrostatycznymi lecz ciśnieniami
statycznymi, które odpowiadają oddziaływaniu sąsiednich, poruszających się elementów,
zapewniającemu równowagę ruchomego płynu. Przy niezmiennym przekroju rurki i
wynikającym stąd warunku:
U1 = U 2
(6.10)
ciśnienia statyczne będą mogły być obliczone jako ciśnienia hydrostatyczne, pomniejszone o
tę samą dla obydwu przekrojów poprawkę ciśnienia wynikającą z prędkości przepływu.
Ciśnienia statyczne będą zatem zawierać pewną nadwyżkę ponad ciśnieniami
hydrostatycznymi wynikającymi z wysokości położenia środków przekrojów 1− 1 i 2 − 2 , co
łatwo można wykazać podstawiając (6.10) do równ. (6.9) co po elementarnych
przekształceniach daje:
p1 + ρ ⋅ g ⋅ z1 = p 2 + ρ ⋅ g ⋅ z 2
Różnica ciśnień statycznych w przewodzie o stałym przekroju będzie zatem wynosić:
p 2 − p1 = ρ ⋅ g (z1 − z 2 ) = ρ ⋅ g ⋅ h
co oznacza, że jest ona równa ciśnieniu hydrostatycznemu słupa cieczy o wysokości równej
różnicy wysokości niwelacyjnych przekrojów 1− 1 i 2 − 2 .
Wyjaśnijmy jeszcze różnicę między ciśnieniem statycznym p opisanym wz. (6.9) i
hydrostatycznym p' występującym w równ. (6.8), które to równania przepisać możemy do
postaci:
'
p1
+ z 1 = C1
ρ⋅g
2
p1
U1
+
+ z1 = C 2
ρ ⋅ g 2g
gdzie C1 i C 2 są stałymi, odpowiadającymi całkowitej energii mechanicznej w punkcie linii
prądu leżącym w środku przekroju 1− 1 . Ponieważ rozważamy płyn idealny, dla którego w
trakcie przepływu nie powstają żadne straty, stąd energia mechaniczna w stanie spoczynku i
ruchu są identyczne, co oznacza:
C1 = C 2
Pisząc analogiczne równania dla przekroju 2 − 2 , a następnie odejmując odpowiednie pary
równań stronami, otrzymujemy do uwzględnieniu wz. (6.10):
ρU 2
'
p d = p1 − p1 = p '2 − p 2 =
(6.11)
2
Wielkość występująca po prawej stronie nazywana jest ciśnieniem dynamicznym.
Z równ. (6.11) wynika zatem, że ciśnienie dynamiczne jest różnicą między ciśnieniami płynu
pozostającego w spoczynku i poruszającego się. Ciśnienie statyczne w rurce prądu będzie
niższe niż ciśnienie hydrostatyczne w płynie nieruchomym, ponieważ część energii
potencjalnej ciśnienia została zamieniona na energię kinetyczną poruszającego się płynu.
Wobec tego nieruchomy płyn otaczający rurkę prądu wywiera na nią ciśnienie p d , co
pokazano na rys. 6.1b.
Równanie Bernoulliego (które przypomnijmy jest równaniem zachowania energii)
przekształcić możemy do postaci:
109
ρU 2
+ p + ρ ⋅ g ⋅ z = pc = const
(6.12)
2
zawierającej kolejno ciśnienie dynamiczne, statyczne i hydrostatyczne, których suma ma
pozostawać niezmienna wzdłuż linii prądu. Suma ta nazywana jest ciśnieniem całkowitym
p c , a wprowadzenie tego pojęcia pozwala wyrazić równanie Bernoulliego dla płynów
idealnych jako warunek stałości ciśnienia całkowitego wzdłuż linii prądu (patrz zal. 6.12).
Dla gazów równanie Bernoulliego bywa często zapisywane w postaci:
U2
p
+
= const
(6.13)
2g ρ ⋅ g
gdyż wobec małej gęstości gazów człon ciśnienia hydrostatycznego (patrz wz. (6.12)) może
zostać pominięty. Równanie (6.13) nazywane jest równaniem Bernoulliego dla gazów i
zachowuje ono ważność dla przepływów gazu przy umiarkowanych prędkościach tzn. takich,
przy których nie zauważa się jeszcze efektów ściśliwości.
U12
2g
1
U22
2g
2
2
S1
S2
z1 = z 2
pd2
1
p d1
Rys.6.2.
Interpretacja równania Bernoulliego dla przepływu przez kanał poziomy o
zmiennym przekroju.
Identyczną jak we wz. (6.13) postać przybiera równanie Bernoulliego dla przepływu
cieczy przez kanał poziomy, pokazany na rys. 6.2, dla którego możemy zapisać:
2
U1
p1
U2
p
2
+
=
+ 2
2g ρ ⋅ g
2g ρ ⋅ g
gdyż wobec jednakowej wysokości niwelacyjnej środków obydwu przekrojów:
z1 = z 2
upraszczają się człony ciśnienia hydrostatycznego.
Z równania ciągłości:
S1 ⋅ U1 = S2 ⋅ U 2
wynika związek między prędkościami średnimi w obydwu przekrojach:
U 2 U1
prowadzący z kolei do zależności między ciśnieniami dynamicznymi:
2
ρU 2
ρU 1
2
p d1 =
pd2 =
2
2
Jak pokazano na rys. 6.2 ciśnienie statyczne p 2 w przekroju 2 − 2 jest mniejsze niż p1 , co
oznacza, iż nieruchomy płyn otaczający rurkę prądu wywiera na nią ciśnienie p d tym
większe, im mniejszy jest przekrój poprzeczny przepływu. Ta własność przepływu znajduje
110
liczne zastosowania praktyczne m.in. w rozpylaczach cieczy, w których ciecz doprowadzona
do najwęższego przekroju kanału zostaje zassana i podlega intensywnemu rozdrabnianiu.
6.3.
Pomiar prędkości przepływu – sondy ciśnieniowe.
Pomiar prędkości poruszającego się płynu był do XVIII wieku zagadnieniem
nierozwiązanym. Prędkość wody przepływającej w otwartych kanałach można było zmierzyć
określając czas przebycia odcinka o znanej długości przez ciało unoszone w wodzie. Jednak
po pierwsze, możliwy był w ten sposób pomiar prędkości tylko w warstwie powierzchniowej,
po drugie nie można było w ten sposób zmierzyć prędkości przepływu przez zamknięte
kanały (rurociągi). Rozwiązanie problemu znalazł w roku 1732 francuski matematyk Henri de
Pitot, który zauważył, że wstawienie do przepływu otwartej rurki skierowanej przeciwnie do
napływającej cieczy powoduje, że poziom cieczy wznosi się w niej ponad swobodną
powierzchnię (patrz rys. 6.3a) a wysokość tego „spiętrzenia” h jest zależna od prędkości
przepływu. Pitot ułożył równanie Bernoulliego dla linii prądu przechodzącej przez oś rurki
(nazywanej często rurką Pitot’a lub rurką spiętrzającą) w dwóch przekrojach kontrolnych
otrzymując:
U2
p
p2
+ 1 =
(6.14)
2g ρ ⋅ g
ρ⋅g
W równaniu tym U jest poszukiwaną prędkością, a ponieważ w przekroju 2 − 2 prędkość
równa jest zeru stąd też punkt ten nazywany jest punktem stagnacji lub punktem spiętrzenia.
b)
U
2
1
1
2
pa
pa
a)
pa
1
1
U
h
H
h
2
ρm
2
U = 2gh
Rys.6.3.
Pomiar prędkości płynu przez pomiar ciśnienia całkowitego w punkcie
stagnacji rurką spiętrzającą a) oraz sondą Pitot’a b).
Zakładając, że nad swobodną powierzchnią panuje ciśnienie atmosferyczne p a , ciśnienia w
odpowiednich przekrojach będą równe:
p1 = pa + ρ ⋅ g ⋅ H
p 2 = pa + ρ ⋅ g ⋅ (H + h )
co po podstawieniu do równania Bernoulliego i elementarnych przekształceniach daje nam
wyrażenie na poszukiwaną prędkość przepływu:
U =
2g h
(6.15)
111
Warto zauważyć, że jest to znany wzór Torricelli’ego określający prędkość swobodnego
spadku ciała w próżni, wyrażający wzajemną równoważność energii kinetycznej spadającego
ciała i energii potencjalnej położenia (wysokości). W analizowanym przypadku jest to
natomiast równoważność energii kinetycznej poruszającego się elementu płynu i potencjalnej
energii ciśnienia słupa cieczy w rurce spiętrzonej do wysokości h ponad swobodną
powierzchnię. Jeżeli przekształcimy równ. (6.14) do postaci:
ρU 2
+ p1 = p 2
2
i zauważymy, że pierwszy człon lewej strony równania jest ciśnieniem dynamicznym a drugi
statycznym, wówczas ciśnienie p 2 będzie ciśnieniem całkowitym p c , które nazywane jest
również ciśnieniem spiętrzenia.
Wracając do definicji ciśnienia całkowitego z rozdziału poprzedniego łatwo wykazać, że
wstawienie rurki spiętrzającej w środek każdego z przekrojów kontrolnych rurki prądu z rys.
6.1 dawać będzie ciśnienie całkowite (ciśnienie spiętrzenia) takie, że ciecz będzie wznosić się
do wysokości swobodnej powierzchni. W przepływie z rys. 6.11 obecność ścian powodowała
bowiem, że ciśnienie statyczne w przepływie było niższe niż w płynie nieruchomym, podczas
gdy w przepływie w kanale otwartym z rys. 6.3 ciśnienia statyczne w płynie nieruchomym i
poruszającym się są identyczne.
Sposób pomiaru z rys. 6.3a nie jest zbyt wygodny w zastosowaniach praktycznych,
gdyż przy bardzo małych prędkościach otrzymujemy niewielkie wysokości spiętrzenia.
a)
d)
b)
c)
ps
pc
ps
ps
Rys.6.4.
Pomiar prędkości przepływu przy zastosowaniu sondy Pitot’a a) oraz płytki
Cera b), otworu w ścianie c), oraz sondy ciśnienia statycznego d).
Wynik pomiaru jest wówczas obarczony dużym błędem, a ponadto sposób ten nie może być
zastosowany do pomiaru prędkości w gazach. Dlatego też w praktyce stosuje się specjalne
sondy Pitot’a, w których rurka spiętrzająca otoczona jest specjalną obudową zmniejszającą
wrażliwość sondy na błędy jej ustawienia. Dodatkowo, impuls ciśnienia z punktu stagnacji
doprowadzony jest do manometru cieczowego, w którym dzięki zastosowaniu cieczy
manometrycznej o małej gęstości i odpowiedniemu pochyleniu rurki (dającej tzw.
przełożenie manometru i ) zwiększyć możemy dokładność pomiaru. Dla sondy Pitot’a z rys.
6.3b, do równania Bernoulliego o postaci (6.14) podstawiamy:
p1 = p 2
p 2 = pc = pa + ρm ⋅ g ⋅ h ⋅ i
gdzie ρ m jest gęstością cieczy manometrycznej, i - przełożeniem manometru, a h różnicą
wysokości słupów cieczy w manometrze. Po uporządkowaniu otrzymujemy ostatecznie
następującą zależność na poszukiwaną prędkość przepływu:
U =
ρ
2 m ⋅ g ⋅ h ⋅ i
ρ
112
(6.16)
a porównanie ze wz. (6.15) wskazuje, że różnica wysokości h wskazywana przez manometr,
będzie większa tyle razy, ile wynosi wartość ilorazu:
ρm
ρ ⋅i
W przykładzie z rys. 6.1b ciśnienie statyczne w przepływie było równe ciśnieniu
atmosferycznemu i dlatego oprócz ciśnienia całkowitego do drugiej gałęzi manometru
podawano ciśnienie p a . Jeżeli ciśnienie statyczne w przepływie będzie różne od ciśnienia
otoczenia (np. w przepływie w rurociągu – rys. 6.4) wówczas oprócz ciśnienia całkowitego
mierzonego sondą Pitot’a (rys. 6.4a) koniecznym będzie określenie wartości ciśnienia
statycznego ps . Ciśnienie statyczne zgodnie z definicją z rozdz. 6.2 jest ciśnieniem z jakim
oddziaływuje na poruszający się element płynu płyn otaczający co oznacza, że winno być ono
mierzone w sposób nie zniekształcający linii prądu. Na rys. 6.4 pokazano przykłady
przyrządów stosowanych w tym celu m.in. płytki ustawionej równolegle do linii prądu,
nazwanej od imienia hiszpańskiego aerodynamika płytką Cera (rys. 6.4b). Na podobnej
zasadzie opiera się pomiar z użyciem sondy ciśnienia statycznego (rys. 6.4b) , w której
walcowym płaszczu rozmieszczone są otworki w odległości na tyle dużej od noska sondy,
aby uniknąć zakłóceń spowodowanych zakrzywieniem linii prądu. Bardzo często stosowanym
sposobem pomiaru ciśnienia statycznego jest pobieranie impulsu ciśnienia z otworu w ścianie,
przy czym konieczne jest tu założenie, że w danym przekroju poprzecznym kanału ciśnienie
statyczne jest jednakowe (jest to prawdą w prostoliniowych kanałach).
1 U
2
1 ps
2
pc
ps
h
ρm
pc p s
Rys.6.5.
Sonda Prandtla a) oraz sposób jej połączenia z manometrem b).
Bardzo wygodny sposób pomiaru prędkości zaproponował niemiecki aerodynamik L.Prandtl,
proponując połączenie sondy Pitot’a z sondą ciśnienia statycznego, co pokazano na rys. 6.5a.
W sondzie tej centralna rurka impulsowa mierzy ciśnienie całkowite p c , natomiast rurka
połączona z cylindrycznym płaszczem daje ciśnienie statyczne ps . Równanie (6.14)
przekształcamy do postaci:
ρU 2
= p 2 − p1
2
a podstawiając:
p1 = ps
p 2 = pc
otrzymujemy dzięki tzw. różnicowemu podłączeniu ciśnień (rys. 6.5b):
p c − ps = ρm ⋅ g ⋅ h
Ostatecznie prędkość przepływającego płynu obliczyć możemy z zależności:
U =
ρ
2 m ⋅g⋅h
ρ
która po uwzględnieniu przełożenia manometru przybiera postać identyczną jak wz. (6.16).
113
114
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)