To tylko jedna z 39 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
11. Ruch obrotowy
W naszych dotychczasowych rozważaniach nad ruchem ciał traktowaliśmy je jako punkty materialne tzn. jako obiekty obdarzone masą, których rozmiary możemy zaniedbać. Jednak rzeczywiste ciała w ruchu mogą się obracać czy wykonywać drgania. W kolejnych rozdziałach zajmiemy się właśnie ruchem obrotowym i drgającym ciał. Będziemy rozważać ruch obrotowy ciał sztywnych tj. obiektów, w których odległości wzajemne punktów są stałe. Zajmiemy się również bardziej ogólnym przypadkiem, w którym ciało sztywne wykonuje zarówno ruch postępowy jak i obrotowy. 11.1 Kinematyka ruchu obrotowego Nasze rozważania zaczniemy od wyprowadzenia równań kinematyki ruchu obrotowego, podobnych do równań kinematyki ruchu postępowego. W ruchu obrotowym wielkością analogiczną do przesunięcia jest przesunięcie kątowe φ . Kąt φ określa położenie (kątowe) punktu P względem układu odniesienia (rysunek 11.1).
Rys. 11.1. Punkt P obracającego się ciała zatacza łuk o długości s Związek φ = s/R między drogą liniową s, a przesunięciem kątowym φ wynika bezpośrednio z miary łukowej kąta φ. W ruchu obrotowym wielkością analogiczną chwilowej prędkości liniowej v jest chwilowa prędkość kątowa ω (11.1)
W ruchu obrotowym podobnie jak w ruchu po okręgu ω jest też nazywana częstością kątową i jest związana z częstotliwością f relacją (11.2)
Podobnie jak chwilowe przyspieszenie liniowe a zostało zdefiniowane chwilowe przyspieszenie kątowe α (11.3)
Możemy teraz podać opis ruchu obrotowego ze stałym przyspieszeniem kątowym α poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego. Tab. 11.1 Ruch postępowy
Ruch obrotowy
Pamiętajmy, że zarówno prędkość kątowa jak i przyspieszenie kątowe są wektorami. Na rysunku 11.2 poniżej, pokazane są wektory: prędkości liniowej v, prędkości kątowej ω, przyspieszenia stycznego as, przyspieszenia normalnego an i przyspieszenia kątowego α punktu P obracającego się ciała sztywnego. Punkt P porusza się ruchem przyspieszonym po okręgu. Rys. 11.2. Kierunki wektorów v, ω, as, an i α punktu P poruszającego się po okręgu wokół pionowej osi Związki pomiędzy wielkościami liniowymi i kątowymi w postaci skalarnej są dane równaniami (11.1), (11.3) oraz równaniem (3.14). Natomiast te zależności w postaci wektorowej mają postać (11.4)
o ruchu przyspieszonym po okręgu.
(…)
… zarazem wychylenie ciała z położenia równowagi. Sprawdźmy teraz czy to równanie dobrze opisuje ruch harmoniczny. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona (12.3)
Żeby obliczyć przyspieszenie a obliczamy odpowiednie pochodne równania (3.1) (12.4)
oraz (12.5)
Teraz wyrażenia (12.2) i (12.5) podstawiamy do równania opisującego ruch oscylatora (12.3) i otrzymujemy (12.6)
Widzimy, że zaproponowane…
… z powierzchnią, po której się ono toczy.
Ćwiczenie Krążek (walec) i kula o takich samych masach m i promieniach R staczają się bez poślizgu po równi pochyłej z wysokości h. Korzystając z zasady zachowania energii oblicz ich prędkości u dołu równi. Jaki byłby wynik obliczeń gdyby te ciała ześlizgiwały się z równi? Obliczenia przeprowadź traktując toczenie jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego…
… żadne siły zewnętrzne więc środek masy układu pozostaje nieruchomy (rozdział 9.2). Zatem
(1)
Zastosujmy teraz do wybranej masy na przykład m2 drugą zasadę dynamiki Newtona: . Siłą wypadkową, działającą na m2 jest siła F = k (x2 x1) gdzie (x2 x1) jest wypadkowym rozciągnięciem sprężyny
(2)
Łącząc równania (1) i (2) otrzymujemy (3)
lub (4)
Równanie to możemy zapisać w postaci (5)
gdzie jest tak zwaną…
… (12.19)
Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa m znalazła się w chwili t = 0 w położeniu x = A, to energia potencjalna układu (12.20)
jest zarazem energią całkowitą (energia kinetyczna Ek = 0). Jeżeli puścimy sprężynę to jej energia potencjalna będzie zamieniać się w energię kinetyczną masy m. Przy założeniu, że nie ma tarcia ani innych sił oporu, zgodnie z zasadą zachowania energii…
… zasadą dynamiki ciało porusza się od tej chwili ruchem jednostajnym, prostoliniowym.
Graniczną prędkość vgr jaką osiąga ciało obliczamy z warunku
(2)
Teraz poszukujemy odpowiedzi napytanie jak zmienia się prędkość podczas ruchu. W tym celu korzystamy z drugiej zasady dynamiki Newtona, która przyjmuje postać równania
lub (3)
Rozwiązaniem równania różniczkowego (3) jest funkcja v(t)
(4)
Zależność…
… bezwzględna wynosi (iloczyn wektorowy) (11.6)
Wielkość r nazywamy ramieniem siły . Z równania (11.6) wynika, że tylko składowa siły prostopadła do ramienia wpływa na moment siły. Moment pędu Zdefiniujmy teraz wielkość, która w ruchu obrotowym odgrywa rolę analogiczną do pędu. Wielkość L nazywamy momentem pędu i definiujemy jako Definicja
(11.7)
gdzie p jest pędem punktu materialnego, a r reprezentuje jego położenie względem wybranego inercjalnego układu odniesienia. Wartość L wynosi (11.8)
Istnieje bezpośrednia zależność pomiędzy momentem siły i momentem pędu. Żeby ją wyprowadzić zróżniczkujmy obie strony równania (11.7)
(11.9)
Ponieważ wektory v oraz p są równoległe to ich iloczyn wektorowy jest równy zeru. Natomiast drugi składnik równania jest zgodnie z definicją (11.5) wypadkowym momentem siły…
…. Ćwiczenie Rozpatrzmy teraz następujący przykład. Rower jedzie ze stałą prędkością gdy siła działająca pomiędzy nawierzchnią i kołem F2 = 5 N. Z jaką siłą F1 łańcuch ciągnie zębatkę jeżeli stosunek R/r = 10? Sprawdź obliczenia i wynik. 11.3 Ciało sztywne i moment bezwładności Większość ciał w przyrodzie to nie punkty materialne ale rozciągłe ciała sztywne. Przeanalizujmy teraz ruch takiej bryły…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)