str 4
W1/2
a) bisekcji : E = 1 ; p = 1, K = 1,
b) siecznych : E =
1+
5
2
≅ 1.62 ; p =
1+
5
, Κ = 1,
2
1
c) stycznych : E = 2
1+ K1
; p = 2, K = 1 + K
1
Z omówionych trzech metod najni szy wska nik efektywno ci ma metoda bisekcji
(zbie no tylko liniowa). Porównanie dwóch pozostałych metod zale y od kosztu
obliczania pochodnej w stosunku do kosztu obliczania funkcji. Dla
1
K1 r - metoda siecznych.
_________________________________________________________
(*)
Normy wektorów
W wielu zastosowaniach fizyki i matematyki, szczególnie przy przeprowadzaniu oblicze
numerycznych, wygodnie jest wprowadzi pewne poj cie, analogiczne do znanej z geometrii
analitycznej długo ci wektora, a mianowicie normy wektora..
W przestrzeni Rn , której elementami s wektory x = [ x1, x2, ... ,xn]T, mo na wprowadzi wiele norm
wektorów, przy czym w obliczeniach numerycznych najcz ciej s stosowane nast puj ce normy
|| x ||1 = |x1| + |x2| + .... +|xn|
norma "Manhattan"
|| x ||2 = ( |x1|2 + |x2|2 + .... +|xn|2 ) 1/2 norma druga
|| x ||oo = max{ |x1| , |x2| , .... , |xn| } norma niesko czono
Rozwi zywanie układów równa nieliniowych
Rozwa amy układ n równa liniowych z n niewiadomymi x1, .... ,xn
f i ( x1, .... ,xn ) = 0 , i = 1,2, ... , n
który mo na zapisa w postaci wektorowej
F(x)=0
gdzie x = ( x1, .... ,xn ) oraz F ( x ) = [ f 1 ( x ), f 2 ( x ), ... , f n ( x ) ]T
Podobnie, jak w przypadku równa skalarnych , układ taki rozwi zujemy metodami
iteracyjnymi tworz c ci g kolejnych przybli e wektorowych
x (k) = ( x1(k), .... ,xn(k) )
zbie nych do wektora rozwi za
W1/2
α = (α1, ... , αn ).
W1/2
str 5
Równie wprowadza si poj cie wykładnika zbie no ci, a wi c najwi kszej liczby p
( p ≥ 1 ) takiej, e
ek+ 1
≤ C ⋅ ( ek
)p
gdzie ek = α - x (k) , a C jest stał nieujemn zale n zwykle od funkcji F , natomiast
| | . | | jest pewn norm wektora.
Metoda Newtona
Zało ymy, e pochodne cz stowe funkcji f i ( x1, ...., xn ) = 0 , i = 1,2, ... , n s ci głe
oraz e macierz Jacobiego
DF ( x ) =
∂
∂x j
f i( x1 , .... , xn)
i, j = 1, ... , n
jest nieosobliwa w pewnym otoczeniu pierwiastka α ( F ( α ) = 0 ). Je eli dobierzemy
x (0) dostatecznie blisko α , to ci g iteracyjny okre lony wzorem ( metoda Newtona )
x (k+1) = x (k) - [ DF ( x (k) ) ] -1 F ( x (k) ) , k = 0, 1, 2, .....
jest poprawnie okre lony ( tj. istniej macierze odwrotne [ DF ( x (k) ) ] -1 ) oraz zbie ny
do α. Przy dodatkowych zało eniach o F uzyskujemy zbie no ponadliniow z
wykładnikiem p = 2.
Dla zadania skalarnego (n = 1) metoda ta pokrywa si z metod stycznych.
Pojedy czy krok w metodzie Newtona realizujemy nast puj co :
1) oblicz Fk = F ( x (k) ), DFk = DF ( x (k) ) ;
2) rozwi
układ równa liniowych, wyznaczaj c poprawk p(k) : DFk p (k) = - Fk ;
3) podstaw x (k+1) = x (k) + p(k)
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)