To tylko jedna z 9 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH
Równania różniczkowe są to równania, które zawierają w swojej budowie pochodną.
Równania te można podzielić ze względu na rodzaj pochodnej jaka w nich występuje. Jeżeli
równanie zawiera pochodną funkcji jednej zmiennej wówczas nazywa się ona równaniem
różniczkowym zwyczajnym. Występowanie pochodnych cząstkowych wskazuje na równanie
różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe możemy rozwiązywać drogą analityczną lub
numeryczną. Analitycznym rozwiązaniem równania różniczkowego jest postać analityczna
szukanej funkcji. Numerycznym rozwiązaniem równania różniczkowego jest zbiór punktów,
których współrzędne spełnia szukaną funkcję.
Aby rozwiązać równanie różniczkowe zwyczajne zapisane w postaci (3.1) należy znać
warunek początkowy (3.2)
dy
= f ( x, y )
lub
y ' = f ( x, y )
(3.1)
dx
y( x0 ) = y 0
(3.2)
Rozwiązaniem równania różniczkowego zwyczajnego (3.1) jest funkcją y(x). Poniżej dla
przykładu przedstawiono dwa równania różniczkowe z warunkami początkowymi oraz
analityczne rozwiązanie tych równań
1
dy
=x
y (0) = 1
( rozw. analityczne y ( x) = x 2 + 1 )
dx
2
dy
=y
y (0) = 5
( rozw. analityczne y ( x) = 5e x )
dx
W dalszej części zostaną przedstawione trzy metody numeryczne służące do rozwiązania
równań różniczkowych zwyczajnych. Pierwsza z nich ma charakter poglądowy, natomiast
dwie kolejne są stosowane w praktyce. W rozważaniach przyjęto następujące oznaczenia:
y(x0)=y0
h
xi
xi+1=xi+h
yi
yi+1
- warunek początkowy
- krok
- wartość zmiennej niezależnej w punkcie i
- wartość zmiennej niezależnej w punkcie i+1
- wartość szukanej funkcji w punkcie xi
- wartość szukanej funkcji w punkcie xi+1
1. Metoda Eulera
Metoda Eulera można zastosować wykorzystując tzw. schemat jawny lub schemat niejawny.
Różnica polega na tym , że w schemacie jawnym wykorzystuje się iloraz różnicowy przedni
(progresywny), natomiast w schemacie niejawnym iloraz różnicowy wsteczny (regresywny).
a) Schemat jawny. Iloraz różnicowy przedni (3.3)
y ( x + h) − y ( x )
y ' ( x) =
(3.3)
h
należy przekształcić do następującej postaci:
y ( x + h) = y ( x ) + y ' ( x ) ⋅ h
Jeżeli jest znany warunek początkowy, tzn. wartość y i' = y ( x i ) dla pewnego punktu xi, to
można obliczyć dalsze wartości yi+1 (dla kolejnych punktów xi+1=xi+h) wg schematu:
yi =1 = yi + f ' ( xi , yi ) ⋅ h - metoda jawna
(3.4)
b) Schemat niejawny. Iloraz Różnicowy wsteczny (3.5)
1
y ( x ) − y ( x − h)
h
można przekształcić na warunkach jednoznaczności do postaci (3.6)
y ( x + h) − y ( x )
y ' ( x + h) =
h
Postać (3.6) należy przekształcić następująco:
y ( x + h) = y ( x ) + y ' ( x + h) ⋅ h
aby w rezultacie otrzymać uogólnione rozwiązanie
yi +1 = yi + f ' ( xi +1 , yi +1 ) ⋅ h
- metoda niejawna (uwikłana)
y ' ( x) =
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Różnica pomiędzy schematem jawnym i schematem niejawnym polega na różnej zbieżności
rozwiązania. W schemacie niejawnym rozwiązanie zachowuje sens dla dowolnej wartości
kroku h. Natomiast w schemacie jawnym krok h musi mieć wartość
(…)
… + f 1 ( x i +1 , y1i +1 , y 2i +1 ) ⋅ h
(3.17)
y 2i +1 = y 2i + f 2 ( x i +1 , y1i +1 , y 2i +1 ) ⋅ h
Schemat niejawny (3.17) stanowi w ogólnym przypadku układ równań nieliniowych z
koniecznością użycia do rozwiązania na przykład metody Newtona-Rophsona.W prostszym
przypadku jest to układ równań liniowych. Wówczas można użyć metody eliminacji Gaussa.
Przykład 4
Poniżej zostanie rozwiązany układ dwóch…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)