To tylko jedna z 11 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Przykłady rozkładów zmiennych losowych typu skokowego
Rozkład dwupunktowy
x1 , x2 z prawdopodobieństwami:
P( X = x1 ) = p ; P( X = x2 ) = 1 − p = q gdzie: p + q = 1 , 0 ≤ p ≤ 1 .
Zmienna losowa X przyjmuje 2 wartości:
Taka zmienna losowa jest często zwana zmienną losową binarną. Zmienne losowe binarne są
podstawowym narzędziem uŜywanym do opisu właściwości stochastycznych urządzeń dwustanowych,
które występują bardzo często w elektronice, np. układy przekaźnikowe, układy cyfrowe itp.
Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta dla rozkładu dwupunktowego:
P(X=x)
P(X=x)
1-p
1
1-p
p
p
x1
x2
Wartość oczekiwana:
x1
x
x2
x
EX = x1 p + x2 q
σ 2 = ( x2 − x1 ) 2 pq
Wariancja:
Przykładem takiej zmiennej losowej moŜe być np. doświadczenie losowe: rzut monetą, wówczas:
p = q = 1/ 2 .
Szczególnym przypadkiem rozkładu dwupunktowego jest rozkład zero – jedynkowy.
W tym przypadku:
x1 = 1 , x2 = 0 , P( X = 0) = 1 − p , P( X = 1) = p
2
Wartość oczekiwana:
EX = ∑ xk pk = 1 ⋅ p + 0 ⋅ (1 − p ) = p
Wariancja:
V ( X ) = ∑ ( xk − m) 2 ⋅ pk = p ⋅ q
k =1
Skokowy rozkład równomierny
Jest to rozkład postaci:
xi
pi
x1
1/n
n
x2
1/n
...
1 n
EX = m = ∑ xi pi = ∑ xi
n i =1
i =1
n
1 n
2
V ( X ) = ∑ xi − m) pi = ∑ ( xi − m) 2
n i =1
i =1
...
xn
1/n
P(X=x)
1/n
x1
x2
x3
x4
x5
x6
xn
x
Rozkład dwumianowy Bernoulli’ego B(n, p)
Niech będzie danych n niezaleŜnych zmiennych losowych:
{ X 1 , X 2 ,..., X n } .Wszystkie zmienne
X k mają jednakowy rozkład dwupunktowy:
P( X k = 0) = 1 − p = q , P( X k = 1) = p gdzie: k = 1, 2, ... , n.
Niech: Yn - oznacza zmienną losową będącą sumą zmiennych losowych X k :
Yn = X 1 + X 2 + ... + X n .
losowe
PoniewaŜ zmienne losowe X k mogą przyjmować wartości 0 i 1, więc zmienna losowa
przyjmować wartości całkowite od 0 do n.
Yn będzie
Yn przyjmuje wartość 0, gdy jednocześnie wszystkie składowe X k przyjmują wartość 0.
Zmienna losowa Yn przyjmuje wartość 1, gdy jednocześnie wszystkie składowe X k przyjmują wartość 1.
W pozostałych przypadkach zmienna losowa Yn przyjmuje wartość całkowitą pośrednią między 0 i n.
Zmienna losowa
Prawdopodobieństwo tego, Ŝe zmienna losowa
Yn przyjmuje konkretną wartość c wynosi:
n
n
n!
P(Yn = c) = p c ⋅ q n − c gdzie: =
c c!( n − c )!
c
Dla n = 1 , mamy oczywiście rozkład dwupunktowy.
Przykłady: wielokrotny rzut monetą, wielokrotny rzut kostką do gry.
Wartość oczekiwana:
Wariancja:
EX = nq
V ( X ) = n(1 − p ) p = npq
Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa zmiennej o rozkładzie Bernoulli’ego dla n=10 i p=0,2.
Przykład:
W systemie radarowym są wysyłane paczki sygnałów po 100 impulsów. Wskutek róŜnego rodzaju
zakłóceń impulsy nadane mogą ulec tak duŜym zniekształceniom, Ŝe niektóre z nich mogą nie być wykryte
przez odbiornik. Prawdopodobieństwo przeoczenia w odbiorniku pojedynczego impulsu wynosi 0,1.
Obliczyć średnią liczbę impulsów rejestrowanych przez odbiornik oraz wariancję tej liczby.
Rozwiązanie:
X - zmienna losowa: liczba impulsów
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)