Równowaga w płynach-opracowanie

Warunki równowagi. Powierzchnie stałego potencjału. Paradoks hydrostatyczny
Hydrostatyka zajmuje się równowagą cieczy oraz siłami wywieranymi przez ciecz na otaczające ściany (zbiornika, przewodu), a także - siłami wywieranymi na ciała zanurzone w cieczy.
Równanie równowagi płynu
Równowaga dotyczy równoważenia się sił masowych i sił powierzchniowych, co zapisuje się w postaci:
∫∫∫ρFmdV - ∫∫npdA = 0 V A
W celu przekształcenia tego równania należy wykorzystać twierdzenie Gausa-Ostrogradskiego dla pola skalarnego; twierdzenie to pozwala zamienić całkę powierzchniową na całkę objętościową, tzn:
∫∫npdA = ∫∫∫gradpdV A V
Uwzględniając to w równaniu (1), otrzymuje się:
∫∫∫ρFmdV - ∫∫∫gradpdV = 0 V V
lub
∫∫∫(ρFm - gradp)dV = 0 V
Symbol „grad” oznacza operację, polegającą na przekształceniu pola skalarnego w pole wektorowe. Operację tę zapisuje się następująco: gdzie
i, j, k - wektory jednostkowe osi współrzędnych (wersory),
∂p/∂x, ∂p/∂y, ∂p/∂z - pochodne cząstkowe.
Równanie (4) ze względu na dowolność obszaru V można zapisać prościej - w postaci:
ρFm = gradp = 0 Jest to wektorowy zapis równania równowagi płynu w postaci różniczkowej.
W układzie współrzędnych kartezjańskich równanie (6) można zapisać w postaci trzech równań skalarnych, a mianowicie:
w których X, Y, Z stanowią składowe jednostkowej siły masowej Fm w kierunkach trzech osi współrzędnych x, y, z.
Mnożąc stronami równania (7) odpowiednio przez dx, dy, dz otrzymuje się:

(…)

…, jeżeli na płyn nie działają siły objętościowe, czyli siły masowe.
Taka sytuacja ma miejsce w gazach ze względu na bardzo małą wartość sił masowych. Gęstość gazu w warunkach normalnych (i bliskich tym warunkom) jest o 3 rzędy wielkości mniejsza niż gęstość cieczy.
Prawo Pascala ma zastosowanie także do cieczy, jeśli siły ciśnieniowe są o wiele większe od sił masowych. Tego rodzaju przypadki występują…
…) można zapisać w postaci trzech równań skalarnych, a mianowicie:
w których X, Y, Z stanowią składowe jednostkowej siły masowej Fm w kierunkach trzech osi współrzędnych x, y, z.
Mnożąc stronami równania (7) odpowiednio przez dx, dy, dz otrzymuje się:
Z kolei, sumując te równania stronami, dostaje się:
ρ( Xdx + Ydy + Zdz ) = (∂p/∂x)dx + (∂p/∂y)dy + ∂p/∂z)dz . Prawa strona zależności (9) jest różniczką zupełną dp…
... zobacz całą notatkę