Mechanika płynów - Równanie ciągłości

Nasza ocena:

5
Pobrań: 301
Wyświetleń: 2310
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Mechanika płynów - Równanie ciągłości - strona 1 Mechanika płynów - Równanie ciągłości - strona 2 Mechanika płynów - Równanie ciągłości - strona 3

Fragment notatki:

MECHANIKA PŁYNÓW 1. Statyka płynów W pierwszej części naszych rozważań sformułujemy prawa obowiązujące dla tzw. cieczy doskonałej, tj. nieściśliwej i nielepkiej. W wielu przypadkach rozważania nasze możemy też zastosować do gazów - tam, gdzie ich ściśliwość nie odgrywa istotnej roli. Rozpoczniemy od zagadnień statyki płynów.
Omawiając własności sprężyste ciał stałych mówiliśmy o naprężeniach stycznych i normalnych, czyli równoległych i prostopadłych do powierzchni ciała. Możliwość swobodnego przemieszczania się cząsteczek płynu sprawia, że płyn nie może jednak równoważyć siły stycznej. Oznacza to, że w przypadku nieruchomych płynów siły powierzchniowe są prostopadłe do powierzchni płynu. Rys. 9.1. Siły działające na ciało zanurzone w płynie są prostopadłe do jego powierzchni. Siłę działającą prostopadle na daną powierzchnię nazywamy siłą parcia lub parciem , zaś siłę działającą na powierzchnię jednostkową nazywamy ciśnieniem . Między tymi siłami jest więc prosty związek
(9.1)
Jednostką ciśnienia jest paskal (Pa) i równy jest ciśnieniu jakie wywiera siła parcia jednego niutona na powierzchnie jednego metra kwadratowego:
(9.2)
Do nieściśliwych cieczy stosuje się znane ze szkolnego kursu fizyki prawo Pascala Ciśnienie wywierane na ciecz przenosi się jednakowo we wszystkich kierunkach i w całej objętości cieczy ma jednakową wartość . Prawo to jest podstawą działania pras hydraulicznych i wielu innych urządzeń przenoszących znaczne siły przy zachowaniu we wszystkich punktach układu tego samego ciśnienia. Ze wzoru (9.1) wynika bowiem, że jeśli w układzie panuje ciśnienie , to siły parcia wywierane na powierzchnie i wynoszą (9.3)
W prasach hydraulicznych jest znacznie większe od .
Prawo Pascala opisuje przenoszenie się ciśnienia zwanego ciśnieniem statycznym. Na każdy element cieczy działa jednak także siła grawitacji i wynikające stąd ciśnienie hydrostatyczne. Nietrudno jest określić to ciśnienie pamiętając, że na dowolnie wyróżnioną powierzchnię w cieczy działa z góry siła równa ciężarowi tejże cieczy czyli , gdzie jest głębokością liczoną względem poziomu cieczy, jest gęstością cieczy a jest przyspieszeniem ziemskim.. Ciśnienie hydrostatyczne wynosi wiec (9.4)


(…)

… w cieczy działa siła wyporu równa ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało. równanie ciągłości iloczyn przekroju strugi i prędkości przepływu pozostaje stały
równanie Bernoulliego związek pomiędzy ciśnieniem hydrostatycznym, ciśnieniem dynamicznym i ciśnieniem zewnętrznym
wzór Torricellego wzór określający prędkość wypływu cieczy przez mały otwór
siła tarcia wewnętrznego siła przeciwstawiająca się ruchowi…
… .
Wyróżnijmy w objętości cieczy prostopadłościan o wysokości i polu podstawy , . Na wszystkie jego ścianki działa to samo ciśnienie statyczne równoważąc się wzajemnie. Ciśnienie hydrostatyczne jest jednak większe na ściankę dolną niż górną. Różnica (patrz Rys.9.1.) wynosi , a siła z nią związana, zwana siłą wyporu jest skierowana pionowo do góry i jej wartość wynosi (9.6)
Siłę tę równoważy skierowana w dół…
… płynu w danym odcinku czasu. Objętość ta równa jest , gdzie jest równe lub .
Z równości obu objętości wynika, że
(9.9)
Związek ten, wyrażony tu na dwa sposoby, nosi nazwę równania ciągłości. Widać z niego, że prędkości cieczy w strudze są odwrotnie proporcjonalne do przekrojów strugi.
3. Równanie Bernoulliego
Równanie ciągłości określa związek pomiędzy prędkością cieczy, a przekrojem strugi. Zmiana…
…, kiedy podzielimy równanie (9.13) przez . Czyniąc to i wykorzystując jeszcze raz zależność , otrzymujemy (9.14)
Równanie (9.14) lub równoważne mu równania (9.12) i (9.13) noszą nazwę równania Bernoulliego. Pierwszy człon po lewej stronie równania (9.14) związany jest z ruchem cieczy i nazywamy jest ciśnieniem dynamicznym, drugi odpowiada energii potencjalnej jednostkowej masy cieczy i jest ciśnieniem…
… od pewnej bezwymiarowej wielkości zwanej liczbą Reynoldsa
(9.22)
gdzie jest współczynnikiem lepkości, - gęstością płynu, - średnią dla danego przekroju prędkością płynu, - wielkością charakteryzującą rozmiary przekroju poprzecznego. Dla małych liczb Reynoldsa przepływ jest laminarny, dla dużych, turbulentny. Liczba Reynoldsa odgrywa ważną rolę w modelowaniu procesów aerodynamicznych, umożliwia…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz