Równania różniczkowe wyższych rzędów - wykład

Równania różniczkowe wyższych rzędów.
Równanie różniczkowe II rzędu w pewnych przypadkach można sprowadzić do równania I rzędu:
Gdy mamy r-nie postaci F(x, y',y'') = 0 wtedy stosujemy podstawienie z = y'
Gdy mamy r-nie postaci F(y, y',y'') = 0 stosujemy podstawienie: y' = u(y) (wtedy y''= *u(y))
Gdy znamy jedno z rozwiązań y1(x), wtedy stosujemy podstawienie Równanie różniczkowe nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu n o stałych współczynnikach. Jeżeli f(x) ≡ 0 równanie nazywamy liniowym jednorodnym, w przypadku przeciwnym - niejednorodnym.
Rozwiązanie r-nia zależy od pierwiastków r-nia charakterystycznego:
1. Każdemu rzeczywistemu jednokrotnemu pierwiastkowi r0 odpowiada funkcja: 2. Każdemu k - krotnemu pierwiastkowi rzeczywistemu r0 odpowiada k funkcji: .
3. Każdej parze pierwiastków zespolonych jednokrotnych * + *i oraz * - *i odpowiadają dwie funkcje: oraz 4. Każdej parze pierwiastków zespolonych k - krotnych * + *i oraz * - *i odpowiada 2k funkcji: , , ..., ,
, , ..., .
Rozwiązaniem równania liniowego jednorodnego o stałych współczynnikach jest kombinacja liniowa wszystkich funkcji y1, ..., yn odpowiadających kolejnym pierwiastkom równania charakterystycznego tzn. funkcja y = C1y1+ ... + Cn yn. Równanie niejednorodne rozwiązujemy metodą uzmienniania stałych lub metodą przewidywań. Metoda uzmienniania stałych polega na zastąpieniu stałych Ci w rozwiązaniu funkcjami Ci(x), których pochodne wyznaczamy z układu równań:
Zadania
1) Rozwiązać równania drugiego rzędu postaci F(x, y',y'') = 0 a) (1 + x)y'' = y' b) (x+1) y'' + x (y')2 = y' c) y'' (x2 + 1) = 2xy' y(0) = 1, y'(0) = 3
2) Rozwiązać równania drugiego rzędu postaci F(y, y', y'') = 0 a) 2 y'' = ey y(0) = 0 y'(0) = 1 b) 3y'y'' = 2y y(0) = y'(0) = 1 c) yy'' + (y')2 = 1 d) e) y (1− ln y ) y'' + (1 + ln y ) (y')2 = 0 f) 2 y y'' − 3 (y')2 = 4 y2 3) Rozwiązać równania rzędu drugiego, wiedząc, że y1(x) jest jednym z rozwiązań: a) y1(x) = x3b) x2y'' + 2xy' - 6y = 0 y1(x) = x2
d) (1 − x2) y'' − 2 x y' + 2 y = 0 y1(x) = x e) y'' − y' tg x + 2y = 0 y1(x) = sin x
3) Rozwiązać równania liniowe jednorodne o stałych współczynnikach:
a) y'' − 5 − 6y = 0 b) y'' + 4y' + 4y = 0 c) y'' + 4y' + 5y = 0
d) yIV − y = 0 e) yIV − y' = 0 f) yIV + 4y'' = 0 g) ... zobacz całą notatkę