RENTA
Wartość przyszła renty
Wartością przyszłą renty FVA (renty z góry FVAD) jest taka kwota na końcu ostatniego odcinka czasu, że jest ona równoważna serii płatności przy danym oprocentowaniu oraz danej liczbie okresów.
Oznaczmy przez PMT płatności renty dla i = 1, 2,..., n, gdzie n oznacza liczbę płatności. Płatności są dokonywane na końcu każdego odcinka czasu, a więc odcinków czasu jest również n, ponumerowanych od 1 do n. Natomiast chwil czasu jest (n+1), ponieważ pierwszy odcinek czasu rozpoczyna się w chwili zerowej i kończy w chwili pierwszej. Wartość obecna renty obliczana w chwili n (na końcu n-tego odcinka czasu) jest sumą wartości przyszłych każdej z płatności PMT. Oznaczając przez FV(PMT, i) wartość przyszłą w chwili n płatności dokonanej w chwili i-tej można zapisać (rys. Błąd! W dokumencie nie ma tekstu o podanym stylu..10, Błąd! W dokumencie nie ma tekstu o podanym stylu..11)
Rys. Błąd! W dokumencie nie ma tekstu o podanym stylu..1. Proces obliczania wartości przyszłej kapitału gromadzonego przez n okresów
Rys..Błąd! W dokumencie nie ma tekstu o podanym stylu..2. Wartość przyszła renty.
FVA = FV(PMT, n) + FV(PMT, n-1) +... + FV(PMT, 2) + FV(PMT, 1) (Błąd! W dokumencie nie ma tekstu o podanym stylu..1)
Ze wzoru Błąd! W dokumencie nie ma tekstu o podanym stylu..5
FV(PMT, n) = PMT*(1+r)0 = PMT*1 = PMT, FV(PMT, n−1) = PMT*(1+r)1, wartość PMT z chwili (n−1) podlega oprocentowaniu przez jeden okres,
FV(PMT, 2) = PMT*(1+r)n−2 wartość PMT z chwili drugiej podlega oprocentowaniu przez (n−2) okresy,
FV(PMT, 1) = PMT*(1+r)n−1 wartość PMT z chwili pierwszej podlega oprocentowaniu przez (n−1) okresów.
Podstawiając 4 ostatnie obliczenia do wzoru Błąd! W dokumencie nie ma tekstu o podanym stylu..22 otrzymamy
FVA = PMT + PMT*(1+r)1 +... + PMT*(1+r)n−2 +PMT*(1+r)n−1. (Błąd! W dokumencie nie ma tekstu o podanym stylu..22a)
Dokonamy teraz dwu różnych przekształceń wzoru Błąd! W dokumencie nie ma tekstu o podanym stylu..22a i przyrównamy do siebie wyniki obu przekształceń.
Przekształcenie A
Obie strony mnożymy przez (1+r), a następnie dodajemy do obu PMT
FVA*(1+r) + PMT= = [PMT + PMT*(1+r)1+... + PMT*(1+r)n−2 +PMT*(1+r)n−1]*(1+r) + PMT.
Otwieramy z prawej strony nawias kwadratowy co powoduje, że rosną potęgi wyrazów (1+r)
FVA*(1+r) + PMT= = PMT*(1+r) + PMT*(1+r)2 +... + PMT*(1+r)n−1 +PMT*(1+r)n + PMT.
Porządkujemy równanie przenosząc ostatni wyraz PMT na początek
FVA*(1+r) + PMT= =PMT + PMT*(1+r) + PMT*(1+r)2 +... + PMT*(1+r)n−1 +PMT*(1+r)n. (Błąd! W dokumencie nie ma tekstu o podanym stylu..2A)
(…)
…, (rys. Błąd! W dokumencie nie ma tekstu o podanym stylu..19.).
Rys. Błąd! W dokumencie nie ma tekstu o podanym stylu..9. Stan kredytu w kolejnych latach w różnych formach płatności.
Przykład Błąd! W dokumencie nie ma tekstu o podanym stylu..4. Pan Adam osiągnie wiek emerytalny za n lat. Postanowił przez te lata wpłacać na swoje konto osobiste kwoty w wysokości PMT1, PMT2,..., PMTn rocznie…
… firmy, stopa wzrostu g < 0,
2. zerowy wzrost firmy (zysk netto = constans), stopa wzrostu g = 0,
3. stały lub normalny wzrost firmy, stopa wzrostu g > 0, ale g < ks,
4. supernormalny wzrost firmy, stopa wzrostu gs > 0, rzędu kilkunastu procent rocznie, ale gs < ks,
5. niestały wzrost firmy: supernormalny wzrost w początkowym skończonym okresie, stopa wzrostu gs niekoniecznie musi być mniejsze od stopy…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)