3.8.1. Redukcja płaskiego układu sił
Przez płaski dowolny układ sił będziemy rozumieć układ sił leżących w jednej
płaszczyźnie o kierunkach nie przecinających się w jednym punkcie. W dalszym
ciągu przyjmiemy, że mamy dany dowolny układ sił Pk (k = 1, 2, . . . , n)
przyłożonych w punktach Ak leżących w płaszczyźnie xy (rys. 3.25).
Postępując podobnie jak w przypadku dowolnego przestrzennego układu sił,
płaski układ sił można zredukować do układu równoważnego składającego się
z jednej siły W przyłożonej w dowolnie obranym biegunie redukcji O i pary sił
o momencie MO. Otrzymamy wzory wektorowe:
W=
n
∑
Pk , M O =
k =1
n
∑r
k×
Pk .
(3.43)
k =1
Wzory te są zewnętrznie
identyczne ze wzorami (3.24) na
Pk
wektor główny i moment główny
Ak
dowolnego układu sił, ale liczba
A1
ich współrzędnych będzie inna.
Pn
Ponieważ siły leżą w płaszczyźnie
rk
xy, wektor główny W będzie miał
An
dwie współrzędne, gdyż trzecie
W
współrzędne sił Pk będą zawsze
x
równe zeru, Pkz ≡ 0 . Jeżeli
MO
O
natomiast jako biegun redukcji O
początek układu
Rys. 3. 25. Redukcja dowolnego płaskiego układu przyjmiemy
współrzędnych x, y (rys. 3.25), to
sił
moment główny MO będzie
zawsze prostopadły do płaszczyzny xy, czyli będzie miał jedną współrzędną.
Wynika to z tego, że zgodnie z definicją iloczynu wektorowego moment każdej z
sił Pk względem punktu O musi być prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej
przez wektory rk i Pk. Do analogicznych wniosków dojdziemy po podstawieniu do
wzorów (3.27) i (3.28) Pkz = 0 i z k = 0 . Otrzymamy wtedy współrzędne wektora
głównego W i momentu głównego MO:
y
P1
⎫
⎪
⎪
k =1
k =1
(3.44)
⎬
n
n
⎪
M O = M Oz =
x k Pky − y k Pkx =
M kO .
⎪
k =1
k =1
⎭
Z trzeciego wzoru (3.44) oraz z przedstawionych wyżej rozważań wynika, że do
określenia momentu głównego wystarczy podanie jednej liczby (moduł opatrzony
n
Wx =
∑
n
Pkx ,
Wy =
∑(
∑P
ky ,
) ∑
znakiem), czyli moment płaskiego układu sił można traktować podobnie jak skalar.
W tej sytuacji mówiąc o momencie głównym w płaskim układzie sił, będziemy
mieć na myśli tylko jego wartość algebraiczną.
3.8.2. Szczególne przypadki płaskiego układu sił
Układ równoważny wypadkowej
W punkcie 3.7.4 udowodniliśmy, że jeżeli moment główny MO jest prostopadły
do wektora głównego W (3.42), to układ sił można zredukować do jednej siły
wypadkowej działającej wzdłuż osi centralnej. W poprzednim punkcie
wykazaliśmy, że warunek ten jest zawsze spełniony. Wynika z tego, że jeżeli
wektor główny płaskiego układu sił jest różny od zera, W ≠ 0 , to układ ten można
zastąpić wypadkową.
W celu wyznaczenia linii działania wypadkowej załóżmy, że płaski układ sił Pk
(k = 1, 2, . . . , n) został zredukowany do początku O układu współrzędnych x, y
(rys. 3.26) do wektora głównego W i momentu głównego MO o wartości MO:
W=
n
∑
k =1
Pk , M O =
n
∑M
kO
.
(3.45)
k =1
Moment MO można zastąpić parą sił –W i W przyłożonych odpowiednio
w punktach O i A. W wyniku
y
takiego działania otrzymaliśmy
W
Wy
dwie siły –W i W przyłożone w
(…)
…. Kierunki reakcji RB i RD są znane, ponieważ linie
działania tych reakcji są prostopadłe do płaszczyzny, po której mogą się przesuwać
podpory B i D. W omawianym przykładzie reakcje te będą miały kierunek
pionowy, a więc prostopadły do osi belki. Mamy zatem sześć niewiadomych RAx,
RAy, RB, RCx, RCy i RD, czyli tyle, ile równań daje nam statyka.
Równania równowagi dla lewej części belki:
∑P
∑P
∑M
kx
= R Ax…
… są równocześnie równe
zeru, to układ sił jest w równowadze. Zatem wektorowe warunki równowagi
możemy zapisać następująco:
W = 0, M O = 0 .
(3.50)
Po przyrównaniu do zera współrzędnych wektora głównego (3.44) otrzymamy trzy
równania równowagi:
n
∑P
kx
n
= 0,
k =1
∑P
ky
n
= 0,
k =1
∑M
kO .
(3.51)
k =1
Należy tutaj zaznaczyć, że punkt O, względem którego obliczamy sumę
momentów danych sił, nie musi być początkiem…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)