Rachunek relacji - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 84
Wyświetleń: 791
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Rachunek relacji - omówienie - strona 1 Rachunek relacji - omówienie - strona 2 Rachunek relacji - omówienie - strona 3

Fragment notatki:

Rachunek relacji
Teoria mnogości utożsamia relacje dwuczłonowe zachodzące między elementami danego zbioru ze zbiorami par uporządkowanych elementów tego zbioru. Każda relacja, w której pozostają do siebie elementy zbioru A, jest pewnym podzbiorem zbioru wszystkich par uporządkowanych, jakie można utworzyć z przedmiotów należących do A (iloczynu kartezjańskiego zbioru A). Relację taką nazywamy relacją określoną w zbiorze A.
Zachodzenie relacji R między przedmiotami x i y wyraża się skrótowo: xRy.
dziedziną relacji R nazywamy zbiór wszystkich przedmiotów, które są pierwszymi elementami par należących do relacji R:
D(R) ≡ {x| ∃y (xRy)}
przeciwdziedziną relacji R nazywamy zbiór wszystkich przedmiotów, które są drugimi elementami par należących do relacji R:
Ď(R) ≡ {y| ∃x (yRx)}
polem relacji R nazywamy zbiór, który jest sumą dziedziny i przeciwdziedziny tej relacji:
P(R) ≡ D(R)+ Ď(R)
Charakterystyka formalna relacji
relacja R jest zwrotna w A, gdy ∀x (x∈a → xRx)
relacja R jest niezwrotna w A, gdy ∃x (x∈a ∧ ∼xRx)
relacja R jest przeciwzwrotna w A, gdy ∀x (x∈a → ∼xRx)
relacja R jest symetryczna w A, gdy ∀x ∀y (xRy → yRx)
relacja R jest niesymetryczna w A, gdy ∃x ∃y (xRy ∧ ∼yRx)
relacja R jest przeciwsymetryczna w A, gdy ∀x ∀y (xRy → ∼yRx)
relacja R jest przechodnia w A, gdy ∀x ∀y ∀z [(xRy ∧ yRz) → xRz]
relacja R jest nieprzechodnia w A, gdy ∃x ∃y ∃z (xRy ∧ yRz ∧ ∼xRz)
relacja R jest przeciwprzechodnia w A, gdy ∀x ∀y ∀z [(xRy ∧ yRz) → ∼xRz]
relacja R jest spójna w A, gdy ∀x ∀y [(x ≠ y) → (xRy ∨ yRx)]
Relacja R:
jest równoważna w A, gdy jest zwrotna, symetryczna i przechodnia w A
jest porządkująca liniowo w A, gdy jest spójna, przeciwsymetryczna i przechodnia w A
jest porządkująca częściowo w A, gdy jest przeciwsymetryczna i przechodnia w A jest relacją jednoznaczną (funkcją), gdy każdemu elementowi dziedziny przyporządkowuje tylko jeden element przeciwdziedziny, czyli spełnia warunek:
∀x ∀y ∀z [(xRy ∧ xRz) → (y = z)]
Funkcję reprezentuje litera F. Zachodzenie funkcji pomiędzy przedmiotami x i y notuje się symbolicznie:
F(x) = y


(…)

… z nimi prawa rachunku relacji:
konwersem relacji R jest relacja, która zachodzi pomiędzy przedmiotem pierwszym i drugim zawsze i tylko wtedy, gdy między drugim a pierwszym zachodzi relacja R:
Ř ≡ {<x,y>| yRx}
Np. Konwersem relacji „bycia żoną” jest relacja „bycia mężem”.
iloczynem względnym relacji R i S jest relacja, która zachodzi między przedmiotem pierwszym i drugim zawsze i tylko wtedy, gdy istnieje…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz