To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Rachunek relacji
Teoria mnogości utożsamia relacje dwuczłonowe zachodzące między elementami danego zbioru ze zbiorami par uporządkowanych elementów tego zbioru. Każda relacja, w której pozostają do siebie elementy zbioru A, jest pewnym podzbiorem zbioru wszystkich par uporządkowanych, jakie można utworzyć z przedmiotów należących do A (iloczynu kartezjańskiego zbioru A). Relację taką nazywamy relacją określoną w zbiorze A.
Zachodzenie relacji R między przedmiotami x i y wyraża się skrótowo: xRy.
dziedziną relacji R nazywamy zbiór wszystkich przedmiotów, które są pierwszymi elementami par należących do relacji R:
D(R) ≡ {x| ∃y (xRy)}
przeciwdziedziną relacji R nazywamy zbiór wszystkich przedmiotów, które są drugimi elementami par należących do relacji R:
Ď(R) ≡ {y| ∃x (yRx)}
polem relacji R nazywamy zbiór, który jest sumą dziedziny i przeciwdziedziny tej relacji:
P(R) ≡ D(R)+ Ď(R)
Charakterystyka formalna relacji
relacja R jest zwrotna w A, gdy ∀x (x∈a → xRx)
relacja R jest niezwrotna w A, gdy ∃x (x∈a ∧ ∼xRx)
relacja R jest przeciwzwrotna w A, gdy ∀x (x∈a → ∼xRx)
relacja R jest symetryczna w A, gdy ∀x ∀y (xRy → yRx)
relacja R jest niesymetryczna w A, gdy ∃x ∃y (xRy ∧ ∼yRx)
relacja R jest przeciwsymetryczna w A, gdy ∀x ∀y (xRy → ∼yRx)
relacja R jest przechodnia w A, gdy ∀x ∀y ∀z [(xRy ∧ yRz) → xRz]
relacja R jest nieprzechodnia w A, gdy ∃x ∃y ∃z (xRy ∧ yRz ∧ ∼xRz)
relacja R jest przeciwprzechodnia w A, gdy ∀x ∀y ∀z [(xRy ∧ yRz) → ∼xRz]
relacja R jest spójna w A, gdy ∀x ∀y [(x ≠ y) → (xRy ∨ yRx)]
Relacja R:
jest równoważna w A, gdy jest zwrotna, symetryczna i przechodnia w A
jest porządkująca liniowo w A, gdy jest spójna, przeciwsymetryczna i przechodnia w A
jest porządkująca częściowo w A, gdy jest przeciwsymetryczna i przechodnia w A jest relacją jednoznaczną (funkcją), gdy każdemu elementowi dziedziny przyporządkowuje tylko jeden element przeciwdziedziny, czyli spełnia warunek:
∀x ∀y ∀z [(xRy ∧ xRz) → (y = z)]
Funkcję reprezentuje litera F. Zachodzenie funkcji pomiędzy przedmiotami x i y notuje się symbolicznie:
F(x) = y
(…)
… z nimi prawa rachunku relacji:
konwersem relacji R jest relacja, która zachodzi pomiędzy przedmiotem pierwszym i drugim zawsze i tylko wtedy, gdy między drugim a pierwszym zachodzi relacja R:
Ř ≡ {<x,y>| yRx}
Np. Konwersem relacji „bycia żoną” jest relacja „bycia mężem”.
iloczynem względnym relacji R i S jest relacja, która zachodzi między przedmiotem pierwszym i drugim zawsze i tylko wtedy, gdy istnieje…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)