Pytania na zaliczenie algebra cz 5

Cichacz. Notatka składa się z 1 strony.
Zestaw 5 Podgrupy, arytmetyka modularna 1. Wykaż, że jeśli w grupie skończonej  G  zbiór  S ̸ =  ∅  jest zamknięty ze względu na działanie grupowe, wówczas  S  jest podgrupą. 2. Wykaż, że podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna. Czy cykliczna jest grupa ( G, ⊙ ), gdzie działanie  ⊙  zdefiniowane jest w tabelce? ⊙  e a b c d e e a b c d a a b d e c b b d c a e c c e a d b d d c e b a a) Wyznacz rzędy wszystkich elementów  G . b) Wyznacz wszystkie elementy podgrupy ⟨a⟩ . 3. Czy permutacje są parzyste? Znajdź rząd permutacji. Wypisz wszystkie elementy grupy ⟨σ⟩ . (a)  σ  = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 5 6 1 7 3 4 9 8 ) (b)  π  = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 9 2 7 6 8 4 1 3 ) 4. Udowodnij, że dla dowolnego  n   1 zachodzi  An  = 1 2  n !, gdzie  An  jest zbiorem wszystkich permutacji parzystych należących do  Sn . 5. Znaleźć taką liczbę całkowitą  a , że  a ≡  4(mod 6) i  a ≡  5(mod 35). 6. Znaleźć taką liczbę całkowitą  a , że  a ≡  4(mod 7) i  a ≡  1(mod 19). 7. Znaleźć taką liczbę całkowitą  a , że  a ≡  38(mod 103) i  a ≡  81(mod 83). 8. Sprawdź, czy istnieje taka liczba całkowita  a , że  a ≡  7(mod 8) i  a ≡ 5(mod 12). 9. Czy istnieje  a ∈  Z ∗ 11 taki, że: a)  a 2 = 7(mod 11), b)  a 2 = 5(mod 11)? 1 ... zobacz całą notatkę