1. (a) Udowodnij, że żaden element odwracalny pierścienia przemiennego z jedynką nie jest dzielnikiem zera. (b) Wykaż, że 2 nie jest elementem pierwszym .
(c) Jakiego typu elementem (odwracalnym, nieodwracalnym, nierozkładalnym, rozkładalnym) jest .
2. Niech A będzie pierścieniem przemiennym z jedynką oraz F: AB będzie epimorfizmem pierścieni. Udowodnić, że jeśli B jest pierścieniem całkowitym to KerF jest ideałem pierwszym.
4. Udowodnij, że liczba jest algebraiczna. Podaj bazę i wymiar rozszerzenia . Wykaż, że rozszerzenie oraz są izomorficzne.
Egzamin 08.06.05
1. Niech a=(1)(2)(3), b=(123), c=(132), d=(1)(23), e=(13)(2), f=(12)(3). Uzupełnij poniższą tabelę tak by otrzymać grupę permutacji zbioru {1, 2, 3}. Podaj , gdzie H 1 jest podgrupą alternującą oraz , gdzie H 2 jest nietrywialną podgrupą taką, że .
a
b
c
d
e
f
a
a
b
c
d
e
f
b
b
a
e
d
c
c
a
b
f
d
e
d
d
e
a
b
e
e
d
f
b
a
c
f
f
e
d
c
b
a
4. Podaj bazę i wymiar rozszerzenia .
5. Wykaż, że I ={0,2} jest ideałem w Z 4 i że pierścień Z 4 / I jest izomorficzny z pierścieniem Z 2 .
6. Udowodnij, że jeśli suma dwóch ideałów głównych I a + I b jest ideałem głównym, to istnieje (a, b) oraz I a + I b = I (a, b) .
7. Niech h: DE będzie izomorfizmem oraz D pierścieniem bez dzielników zera. Wykaż, że E jest bez dzielników zera.
8. Czy ideał główny generowany prze wielomian x 2005 - 6x + 12 jest maksymalnym w pierścieniu Q[x]?
10.09.2007
1. Które z poniższych stwierdzeń są prawdziwe? Grupa skończona, której każda właściwa podgrupa jest cykliczna, jest grupą cykliczną.
Każda grupa cykliczna jest abelowa.
Grupa zawiera podgrupę rzędu 8.
Odpowiedzi uzasadnij.
2. Udowodnij, że pierścień A przemienny z jedynką ma dokładnie jeden ideał maksymalny, wtedy i tylko wtedy gdy oraz suma dwóch dowolnych elementów nieodwracalnych w A jest elementem nieodwracalnym w A.
3. Udowodnij, że jeśli I oraz J są ideałem pierścienia P i Q odpowiednio, to zbiór jest ideałem pierścienia P Q . Następnie, korzystając z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie pierścienia, wykaż, że
(…)
… nie jest dzielnikiem zera.
b) Stosując algorytm Euklidesa w Z7[X] wskaż NWD (f, g) gdzie f = X4 + 4X3 + 4X2 + 6 oraz g = X3 + 6X +1. Zapisz NWD (f, g) jako kombinację liniową f, g.
4. Wykaż, że jest ideałem . Czy jest to ideał pierwszy? Czy jest to ideał maksymalny? Korzystając z podstawowego twierdzenia o homomorfizmie pierścieni wykaż, że /I jest izomorficzny z .
5. Podaj bazę i wymiar rozszerzenia . Wykaż, że . Podaj wielomian minimalny dla . Odpowiedź uzasadnij.
1. Korzystając z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie pierścieni udowodnij, że jeśli A=Z3[X] oraz I=(X2+1)A to pierścień ilorazowy A\I jest izomorficzny z .
3. W pierścieniu ilorazowym Z[X]\I gdzie I=X3Z[X] rozwiązać równanie o niewiadomej t: ((3+X+X2)+I)t=(3-5X+X2)+I.
4. Stosując algorytm Euklidesa dla wielomianów f=X3+X2+6X+4, g=X4+6X3+2X2+2…
… pierścienia .
opisz pierścień ilorazowy (z tabelkami działań).
odpowiedz, czy ideał jest pierwszy?
rozstrzygnij dla jakiego m istnieje izomorfizm pomiędzy Zm a .
23 czerwca 2006
2. Znajdź domknięcie normalne K rozszerzenia .
Wskaż grupy Galois rozszerzeń oraz K : Q. (tego to chyba nie:P) 3. Znaleźć, z dokładnością do izomorfizmu, wszystkie podgrupy grupy D4 (grupy izometrii własnych kwadratu). Czy grupa D4…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)