kolokwium rachunek prawdopodobieństwa

1 KOLOKWIUM A - 21 listopada 2012 r. 1. Ile jest różnych (ze względu na obroty) pokolorowań szachownicy 5 ×  5 trzema kolorami, jeśli szachownica jest namalowana na desce? 2. Niech  P  będzie pierścieniem przemiennym. Udowodnij, że dla każdego  a ∈ P zbiór  I ( a ) = {pa  :  p ∈ P }  jest ideałem pierścienia  P  . (a) Czy zbiór  B  = {f ∈ C [0 ,  1] :  f′ (0) = 0 }  jest podpierścieniem pierścienia ( C [0 ,  1] ,  + , · )? (b) Czy zbiór  B  jest ideałem pierścienia ( C [0 ,  1] ,  + , · )? 3. Wyznacz elementy grupy  A  automorfizmów naszyjnika o sześciu koralikach bccbcc . (a) Czy grupa  A  jest cykliczna? (b) Znajdź  p -podgrupy (niekoniecznie Sylowa!) grupy  A 4. Udowodnij, że jeśli element  a  jest nierozkładalny i  a ∼ b , to element  b  też jest nierozkładalny. Zbadaj jakiego typu elementem (odwracalnym, nierozkładalnym, rozkładal- nym) jest dany element pierścienia Z[1 2 ]: a) 9, b) 10. 5. Ideał  I  pierścienia  A  nazywamy  pierwszym , jeśli  I ̸ =  A  oraz spełniony jest warunek: ∀a, b ∈ A  ( ab ∈ I ⇒ a ∈ I ∨ b ∈ I ) . Niech  n ∈  N  ∪ { 0 } 0. Sprawdź, że ideał  n Z jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy  n  jest liczbą pierwszą lub  n  = 0. POWODZENIA! 1 KOLOKWIUM B - 21 listopada 2012 r. 1. Kolorujemy szachownicę 5 ×  5 kolorami białym i czarnym. Ile jest różnych (ze względu na obroty) pokolorowań, w których białych pól jest 15 zaś czarnych 10? 2. Niech  I 1 będzie ideałem w pierścieniu  P 1 oraz  I 2 ideałem w pierścieniu  P 2. Wykaż, że  I 1 × I 2 jest ideałem w pierścieniu  P 1  × P 2. (a) Czy zbiór  B  = {f ∈ C [0 ,  1] :  f′ (1) = 0 }  jest podpierścieniem pierścienia ( C [0 ,  1] ,  + , · )? (b) Czy zbiór  B  jest ideałem pierścienia ( C [0 ,  1] ,  + , · )? 3. Udowodnij, że jeśli grupa ma dokładnie dwie podgrupy, to jest ona grupą cykliczną, której rząd jest liczbą pierwszą. - Wypisz wszystkie  p -podgrupy grupy  Z∗ 12 (niekoniecznie Sylowa!). 4. Udowodnij, że jeśli element  a  jest nierozkładalny i  a ∼ b , to element  b  też jest nierozkładalny. Zbadaj jakiego typu elementem (odwracalnym, nierozkładalnym, rozkładal- nym) jest dany element pierścienia Z[1 2 ]: a) 15, b) 6. 5. Ideał  I  pierścienia  A  nazywamy  pierwszym , jeśli  I ̸ =  A  oraz spełniony jest warunek: ∀a, b ∈ A  ( ab ∈ I ⇒ a ∈ I ∨ b ∈ I ) . Niech  n ∈  N  ∪ { 0 } 0. Sprawdź, że ideał  n Z jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy  n  jest liczbą pierwszą lub  ... zobacz całą notatkę