Pytania na zaliczenie algebra cz 11

Cichacz. Notatka składa się z 1 strony.
Zestaw 11 Ideały 1. Udowodnić, że pierścienie Z[ √ 5] i Z[ i ] nie są izomorficzne. 2. Udowodnić, że jeśli pierścienie  A  i  B  są izomorficzne, to pierścienie A [ X ] i  B [ X ] też są izomorficzne. 3. Wykaż, że jeśli  φ  :  A → B  jest homomorfizmem pierścieni, to ker φ  jest ideałem pierścienia  A . 4. Wykaż, że jeśli  φ  :  A → B  jest homomorfizmem pierścieni i  J  jest ideałem pierścienia  B , to zbiór  φ− 1( J  ) jest ideałem pierścienia  A . 5. Czy zbiór  I  jest ideałem pierścienia  A : a)  I  = {f ∈ C [ a ;  b ] :  f ( a ) = 0 } ,  A  =  C [ a ;  b ] , b)  I  =  {f ∈ C ( a ;  b ] : lim x→a +  f ( x ) = 0 } ,  A  =  C ( a ;  b ] . 6. Wykaż, że ideał pierścienia  I  = 5 Z[ X ] +  X Z[ X ] nie jest główny. 7. Wykaż, że jeśli  A  jest ciałem, to  A  ma dokładnie dwa ideały. 8. Czy w Z[ i ] element 1 + 2 i  dzieli: 2, 5 i −  30? 9. Czy w Z[ 1 30 ] =  { m 30 k , m ∈  Z , k ∈  N }  element 7 dzieli: 1 27 , 14 25 ? 10. Udowodnij, że jedynym elementem stowarzyszonym z 0 jest 0. 11. Udowodnić, że  a ∼ b  wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwracalny element  u  taki, że  b  =  au . 12. Udowodnij, że jeśli  a  jest odwracalny i  a ∼ b , to  b  odwracalny. 13. W pierścieniu Z[ i √ 3] znaleźć wszystkie dzielniki 5 +  i √ 3. 14. Czy  a  jest elementem pierwszym w  A : a)  a  = 1 +  i √ 5 , A  = Z[ i √ 5]; b)  a  =  i √ 6 , A  = Z[ i √ 6]; c)  a  =  i √ 11 , A  = Z[ i √ 11]? 15. Sprawdź, czy w pierścieniu Z[ i √ 3] elementy: a) 4 , b) 5 +  i √ 3 , są odwracalne? 16. Zbadać jakiego typu elementem (odwracalnym, rozkładalnym, nieroz- kładalnym) jest dany element w Z[ 1 10 ]. a) 1 25  , b) 13 80  , c) 9 10  . 1 ... zobacz całą notatkę