Cichacz. Notatka składa się z 1 strony.
Zestaw 3 Izomorfizm grup, rz¸ad elementów 1. Znaleźć wszystkie homomorfizmy grupy Z 18 w grupę Z 15. 2. Niech ϕ : G → G będzie homomorfizmem grup i niech e i e będą elementami neutralnymi grup G i G . Udowodnić, że ϕ ( e ) = e . 3. Niech ϕ : G → G będzie homomorfizmem grup. Wykazać, że dla dowolnego a ∈ G zachodzi równość ϕ ( a− 1) = ( ϕ ( a )) − 1. 4. Niech ϕ : G → G będzie izomorfizmem grup. Wykazać, że funkcja ϕ− 1 : G → G jest izomorfizmem grup. 5. Ile elementów mają następujące grupy: Z ∗ 75, Z ∗ 64, Z ∗ 15? 6. Sprawdzić, czy grupy są izomorficzne. Jeśli tak, to znaleźć izomorfizm grup: a) ( Z ∗ 12 , · ) i ( Z 2 × 2 , +), b) ( Z ∗ 9 , · ) i ( Z 6 , +), c) ( Z 4 , +) i ( Z 2 × 2 , +), d) ( Z 6 , +) i ( Z 2 × 3 , +). 7. Niech D będzie zbiorem całkowitych potęg liczby 2. Niech działanie ◦ będzie określone następująco: x ◦ y = x·y 2 . a) Sprawdź, czy odwzorowanie f (2 k ) = k − 1 jest izomorfizmem grup ( D, ◦ ) oraz (Z , +). b) Czy grupa ( D, ◦ ) jest cykliczna? Jeśli tak, to wskaż jej generator. 8. Znaleźć najmniejszy generator grupy Z ∗ 31. 9. Czy liczba 3 jest generatorem Z ∗ 53? 10. Czy cykliczna jest grupa ( Z , ⊕ ), gdzie działanie ⊕ określone jest wzorem a ⊕ b = a + b − 5? Jeśli tak, to wyznacz generatory tej grupy. 11. Która z grup jest cykliczna: Z ∗ 5, Z ∗ 8, Z ∗ 15? 12. Udowodnić, że każda grupa cykliczna jest abelowa. 13. Udowodnić, że dla każdego a ∈ G zachodzi rz a = rz( a− 1). 14. Znaleźć najmniejszy generator grupy Z ∗ 17, a następnie określić izomorfizm grup ϕ : Z 16 → Z ∗ 17. Zbudować tabelkę wartości funkcji ϕ . Wykorzystując izomorfizm ϕ , rozwiązać w grupie Z ∗ 17: a) 7 x 4 = 10, b) 8 x 6 = 2, c) 11 x 3 = 2. 1
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)