Pytania na zaliczenie algebra cz 3

Nasza ocena:

5
Pobrań: 70
Wyświetleń: 1491
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Pytania na zaliczenie algebra cz 3 - strona 1

Fragment notatki:

Cichacz. Notatka składa się z 1 strony.
Zestaw 3 Izomorfizm grup, rz¸ad elementów 1. Znaleźć wszystkie homomorfizmy grupy  Z 18 w grupę  Z 15. 2. Niech  ϕ  :  G → G  będzie homomorfizmem grup i niech  e  i  e  będą elementami neutralnymi grup  G  i  G  . Udowodnić, że  ϕ ( e ) =  e  . 3. Niech  ϕ  :  G → G  będzie homomorfizmem grup. Wykazać, że dla dowolnego a ∈ G  zachodzi równość  ϕ ( a− 1) = ( ϕ ( a )) − 1. 4. Niech  ϕ  :  G → G  będzie izomorfizmem grup. Wykazać, że funkcja ϕ− 1 :  G → G  jest izomorfizmem grup. 5. Ile elementów mają następujące grupy:  Z ∗ 75,  Z ∗ 64,  Z ∗ 15? 6. Sprawdzić, czy grupy są izomorficzne. Jeśli tak, to znaleźć izomorfizm grup: a) ( Z ∗ 12 , · ) i ( Z 2 × 2 ,  +), b) ( Z ∗ 9 , · ) i ( Z 6 ,  +), c) ( Z 4 ,  +) i ( Z 2 × 2 ,  +), d) ( Z 6 ,  +) i ( Z 2 × 3 ,  +). 7. Niech  D  będzie zbiorem całkowitych potęg liczby 2. Niech działanie  ◦ będzie określone następująco:  x ◦ y  =  x·y 2 . a) Sprawdź, czy odwzorowanie  f  (2 k ) =  k −  1 jest izomorfizmem grup ( D, ◦ ) oraz (Z ,  +). b) Czy grupa ( D, ◦ ) jest cykliczna? Jeśli tak, to wskaż jej generator. 8. Znaleźć najmniejszy generator grupy  Z ∗ 31. 9. Czy liczba 3 jest generatorem  Z ∗ 53? 10. Czy cykliczna jest grupa ( Z , ⊕ ), gdzie działanie  ⊕  określone jest wzorem a ⊕ b  =  a  +  b −  5? Jeśli tak, to wyznacz generatory tej grupy. 11. Która z grup jest cykliczna:  Z ∗ 5,  Z ∗ 8,  Z ∗ 15? 12. Udowodnić, że każda grupa cykliczna jest abelowa. 13. Udowodnić, że dla każdego  a ∈ G  zachodzi rz  a  = rz( a− 1). 14. Znaleźć najmniejszy generator grupy  Z ∗ 17, a następnie określić izomorfizm grup  ϕ  :  Z 16  →  Z ∗ 17. Zbudować tabelkę wartości funkcji  ϕ . Wykorzystując izomorfizm  ϕ , rozwiązać w grupie  Z ∗ 17: a) 7 x 4 = 10, b) 8 x 6 = 2, c) 11 x 3 = 2. 1 ... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz