To tylko jedna z 16 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wyklad 1-3 2,9,16 wrze´snia 2012 1 Arytmetyka liczb calkowitych Poni˙zej przypomnimy niekt´ ore definicje i wlasno´ sci liczb calkowitych, kt´ ore po- trzebne nam beda w dalszym ciagu wykladu. P´ o´ zniej zobaczymy, ˙ze twier- dzenia, kt´ ore podamy i udowodnimy w tym kr´ otkim wprowadzeniu sa bar- dzo szczeg´ olnymi przypadkami twierdze´ n znacznie bardziej og´ olnych. Niemniej warto ju˙z teraz o nich powiedzie´ c poniewa˙z beda nam bardzo szybko potrzebne oraz dlatego, ˙ze latwiej bedzie p´ o´ zniej dowody twierdze´ n dotyczacych struktur abstrakcyjnych zrozumie´ c. 2 Liczby pierwsze Liczbami pierwszymi nazywamy liczby naturalne1, kt´ orych nie da sie przed- stawi´ c w postaci iloczynu co najmniej dw´ och liczb naturalnych r´ o˙znych od 0 i 1. Czasami liczby te oznacza sie przez P = {2, 3, 5, 7, ...}. Znane byly od staro˙zytno´ sci. Dzieki swoim bardzo praktycznym zastosowaniom w teorii szy- frowania stanowia bardzo atrakcyjny przedmiot bada´ n. Liczby naturalne, kt´ ore mo˙zna przedstawi´ c jako iloczyn co najmniej dw´ och liczb naturalnych (r´ o˙znych od 0 i 1) nazywamy liczbami zlo˙zonymi. Szczeg´ olnie wa˙zny dla nas jest podany przez Euklidesa znany fakt, ˙ze zbi´ or liczb pierwszych jest niesko´ nczony. Rzeczywi´ scie, przypu´ s´ cmy, ˙ze P = {p1, p2, ..., pn}. Oznaczaloby to, ˙ze ka˙zda liczba naturalna r´ o˙zna od 0 i 1 jest podzielna przez jedna z co najmniej liczb p1, p2, ..., pn. Zdefiniujmy liczbe a = p1p2 · ... · pn + 1 a jest liczba naturalna wieksza od ka˙zdej z liczb p1, p2, ..., pn, kt´ ora nie jest podzielna przez ˙zadna z nich, bowiem reszta z dzielenia a przez pi jest r´ owna 1. Udowodnili´ smy w ten spos´ ob fakt znany ju˙z Euklidesowi. 1Za znane przyjmujemy zbiory liczbowe i ich oznaczenia. Warto uczyni´c jednak wyjatek dla zbioru liczb naturalnych N, poniewaa bywa on definiowany w r´ o˙znych ksia˙zkach roz- maicie. Tu przez liczby naturalne rozumie´ c bedziemy liczby calkowite nieujemne, a wiec N = {0, 1, 2, 3, ...}. 1 3 ALGORYTM EUKLIDESA 2 Twierdzenie 2.1 (Twierdzenie Euklidesa.) Zbi´ or liczb pierwszych jest nie- sko´ nczony. Znacznie wiecej na temat liczno´ sci zbioru liczb pierwszych m´ owi twierdzenie udowodnione przez Eulera2 w 1748 roku. Twierdzenie to podajemy tu bez dowodu odsylajac zainteresowanych do [?], gdzie mo˙zna znale´ z´ c nie tylko dow´ od tego twierdzenia, ale tak˙ze rozwa˙zania na temat rozmieszczenia liczb pierwszych (por. tak˙ze [?]).
(…)
… pomiedzy elementem najmniejc
o˙
szym a minimalnym elementem tego zbioru.
4
GRUPY
5
Przyklad 4.1 Z latwo´cia mo˙ na sprawdzi´, ze poni˙ sze stuktury sa grupami.
s
z
c ˙
z
SX (zbi´r permutacji zbioru X z dzialaniem skladania funkcji).
o
Z (zbi´r liczb calkowitych), Q (zbi´r liczb wymiernych), R (zbi´r liczb rzeczyo
o
o
wistych), C (zbi´r liczb zespolonych) z dzialaniem dodawania.
o
Q+ (zbi´r liczb…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)