Przestrzenie wektorów, baza-opracowanie

Przestrzenie wektorów, baza
Aproksymacja/reprezentacja sygnału w przestrzeni – kombinacja
liniowa
–
–
Liniowa aproksymacji/kombinacja wektorów bazy
co to znaczy liniowa?
Definicja: Każdy wektor w przestrzeni można otrzymać jednoznacznie(w jeden sposób) za
pomocą liniowej kombinacji wektorów bazy.
np. w przestrzeni R3 możemy przyjąć zbiór wektorów bazowych
v 1=0,0 ,1 , v 2=0,1 ,0 , v 3=1,0 ,0 wtedy wektor w=3,6 ,2 można przedstawić
jako w=2 v 16 v 2 3 v 3
czyli w=1 v 1 2 v 23 v 3
gdzie 1, 2, 3 to współczynniki reprezentacji
inny zestaw wektorów bazowych
v 1=0,0 ,1 , v 2=0,2 ,0 , v 3=3,0 ,1 wtedy ten sam wektor w=3,6 ,2 można
przedstawić jako w=1 v 13 v 21 v 3
–
Wybór bazy
Definicja: Baza przestrzeni liniowej - to maksymalny zbiór liniowo niezależnych wektorów tej
przestrzeni
– elementy bazy są liniowo niezależne – co to znaczy?
– jest ich maksymalna ilość, ilość wektorów bazowych implikuje rozmiar przestrzeni – co to
znaczy?
Przykład w R2 :
Czy wektor v 1=2,3 może być bazą przestrzeni R2 ?
Czy wektory v 1=2,3 i v 2 =−2,−3 mogą stanowić bazę R2 ?
N=256;n=(0:N-1)./N;x=sin(2*pi*n);y=sin(2*pi*2*n);
plot(n,x,';x;',n,y,';y;');
iloczyn_skalarny = x*y'
–
–
Czy w powyższym przykładzie mamy już bazę?
Czy ilość wektorów bazy jest maksymalna?
baza ortogonalna (wektory bazy są do siebie prostopadłe) przykład rysunkowy w 2D
Warunek baza ortonormalna (jw. plus norma wektorów bazy = 1) przykład rysunkowy w 2D
norma_x = sqrt(x*x')
norma_y = sqrt(y*y')
–
każda przestrzeń może mieć wiele baz !!!
ale najwygodniejsza jest baza ortonormalna
-1-
Wyznaczanie współczynników reprezentacji
Układ równań macierzowych
⋮ ⋮ ⋮
v 1 v 2 v 3 =V jest bazą przestrzeni, [ 1 2 3 ] = wtedy w= V
⋮ ⋮ ⋮
Jak wyznaczyć  znając w i V ?
−1
w V =
– baza ortonormalna – najprostszy przypadek
– warunki istnienia bazy są wystarczające do istnienia odwrotności macierzy V
– istnieje wiele metod znajdowania odwrotności macierzy (np. procedura ortogonalizacji
Gramma-Schmidta)
[
]
V = eye(3)
w = [3,5,-3]
alfa = w/V
V = 2*eye(3)
alfa = w/V
a co będzie dla bazy innej?
V = [2,0,1; 0,3,-1; 5,-2,0]
czy to w ogóle baza?
v1 = V(:,1); v2 = V(:,2); v3 = V(:,3)
v1*v2'
itd.
Sprawdź to samo dla macierzy
V = [[2;0;6], [0;3;-2], [1;0;3]]
Aproksymacja z błędem
Jeżeli dysponujemy zbiorem zupełnym (danej przestrzeni) czyli bazą to współczynniki
[ 1 , 2 , , N ]= aproksymują nam dowolny wektor w przestrzeni bez błędu. A co jeżeli
mamy zbiór wektorów bazowych niezupełny ?
–
Dowolne elementy są ortogonalne(prostopadłe) w przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy ich
iloczyn skalarny jest równy zero.
–
twierdzenie o rzucie ortogonalnym
Jeżeli V 0 jest podprzestrzenią przestrzeni Hilberta V każdy element
przedstawić jako:
x ∈V da się
x= x 0z , gdzie x 0 ∈V 0 i z ⊥ V 0
Element
x 0 jest rzutem ortogonalnym elementu
x na podprzestrzeń V 0
(narysować rysunek)
–
z powyższego wynika zwiększenie wymiaru przestrzeni
-2-
Przykładowe bazy
W przestrzeni Euklidesa ... zobacz całą notatkę