Dokument zawiera kilka definicji i przykładów związanych z przestrzenią probabilistyczną oraz własnościami prawdopodobieństwa. Notatka została sporządzona na zajęcia z przedmiotu metody probabilistyczne. Zajęcia prowadzone są na Politechnice Warszawskiej. Notatka ma dwie strony i porusza zagadnienia takie jak: przestrzeń zdarzeń elementarnych, zdarzenie losowe, prawdopodobieństwo, przykłady określania prawdopodobieństwa.
Wykład pierwszy
Przestrze ´n probabilistyczna. Własno´sci prawdopodobie ´nstwa
1. Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych
Definicja 1 Do´swiadczeniem losowym nazywamy do´swiadczenie, którego wyniku nie da si˛e z góry przewidzie´c i któremo˙ze by´c powtórzone w tych samych warunkach.
Przykłady do´swiadcze ´n losowych: rzut monet ˛
a, rzut kostk ˛
a, losowanie karty z talii, czas eksploatacji dysku twardego
w komputerze danego typu.
Definicja 2 Zbiór wszystkich mo˙zliwych wyników do´swiadczenia losowego nazywamy przestrzeni ˛
a zdarze´n elemen-
tarnych i oznaczamy symbolem Ω. Ka˙zdy element przestrzeni zdarze´n elementarnych nazywamy zdarzeniem elemen-tarnym.
2. Zdarzenie losowe
Definicja 3 Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni zdarze´n elementarnych. Zbiór wszystkichzdarze´n losowych oznaczamy symbolem F .
Definicja 4 Zdarzeniem pewnym nazywamy zdarzenie Ω.Zdarzeniem niemo˙zliwym nazywamy zdarzenie ∅.Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy zdarzenie A = Ω − A.
3. Prawdopodobie ´nstwo
Definicja 5 Niech dana b˛edzie przestrze´n zdarze´n elementarnych Ω oraz zbiór zdarze´n losowych F .Prawdopodobie´nstwem nazywamy funkcj˛e P : F → [0; ∞) tak ˛
a, ˙ze
1. P (Ω) = 1
∞
∞
2. P
Ai
=
P (Ai) dla ka˙zdego przeliczalnego ci ˛
agu zdarze´n (Ai) takiego, ˙ze Ai ∩ Aj = ∅ gdy i = j.
i=1
i=1
Warunki zawarte w powy˙zszej definicji nosz ˛
a nazw˛e aksjomatów teorii prawdopodobie´nstwa. Zostały sformułowane
w 1933 roku przez Kołmogorowa.
Definicja 6 Trójk˛e (Ω, F , P ) nazywamy przestrzeni ˛
a probabilistyczn ˛
a.
Własno´sci prawdopodobie ´nstwa:
Niech (Ω, F , P ) b˛edzie przestrzeni ˛
a probabilistyczn ˛
a. Je´sli A, B, A1, . . . , An ∈ F , to:
1. P (∅) = 0;
n
n
2. Je´sli Ai ∩ Aj = ∅ dla i = j, to P
Ai
=
P (Ai);
i=1
i=1
3. P (A ) = 1 − P (A);
4. A ⊂ B ⇒ P (A)
P (B);
5. P (B − A) = P (B) − P (A ∩ B);
6. A ⊂ B ⇒ P (B − A) = P (B) − P (A);
7. Wzór wł ˛
acze´n i wył ˛
acze´n:
P (A1 ∪ · · · ∪ An) =
P (Ai) −
P (Ai ∩ Ak) + · · · +
1
i
n
1
i
(…)
…, to dla dowolnego zdarzenia losowego A
z
P (A) =
A
.
Ω
Klasyczna definicj˛ prawdopodobie´ stwa podał w 1812 roku Laplace.
˛
e
n
´
4.2 Przeliczalny zbiór zdarzen elementarnych
Twierdzenie 2 Je´li Ω = {ω1 , ω2 , . . . } jest zbiorem przeliczalnym, to dla dowolnego zdarzenia losowego A
s
P (A) =
P (ωi ).
{i: ωi ∈A}
´
4.3 Geometryczna definicja prawdopodobienstwa
Uwaga. Je´li A ⊂ Rn , to |A| jest miara Lebesgue’a zbioru…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)