Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

Nasza ocena:

5
Pobrań: 7
Wyświetleń: 623
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa - strona 1 Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa - strona 2 Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa - strona 3

Fragment notatki:


Wykład 13. Podstawowe poj˛ecia rachunku prawdopodobie´nstwa 9 stycznia 2013 Do´swiadczenie losowe Do´swiadczenie nazywamy losowym, je´sli: • mo˙ze by´c powtarzane (w zasadzie) w tych samych warunkach; • wynik jego nie mo˙ze by´c przewidziany w sposób pewny; • zbiór wszystkich mo˙zliwych wyników do´swiadczenia jest okre´slony przed przeprowadzeniem do´swiadczenia. Przykłady do´swiadcze ´n losowych • Losowy wybór mieszkania z listy mieszka´n oferowanych do sprzeda˙zy. • Dwukrotny rzutu monet ˛ a. • Dwukrotny rzutu kostk ˛ a. Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych Definicja 1. Przestrzeni ˛ a zdarze´n elementarnych nazywamy zbiór wszystkich mo˙zliwych wyników do´swiadczenia losowe- go. Pojedynczy element tej przestrzeni nazywa´c b˛edziemy zdarzeniem elementarnym. Dowolny podzbiór przestrzeni zdarze´n elementarnych o sko´nczonej liczbie elementów b˛edziemy nazywa´c zdarzeniem. W przypadku przestrzeni zdarze´n elementarnych o niesko´nczonej liczbie elementów, zdarzeniem nazywamy podzbiór przestrzeni zdarze´n elementarnych spełniaj ˛ acy pewne dodatkowe zało˙zenia. Uwaga Niektórzy autorzy okre´slaj ˛ a zdarzenie jako dowolny podzbiór przesztrzeni zdarze´n elementarnych (jest to sen- sowne uproszczenie — dla celów dydaktycznych). Przestrze ´n zdarze ´n elementarnych- przykłady Przestrzeni ˛ a zdarze´n elementarnych dla do´swiadczenia losowego : • polegaj ˛ acego na losowym wyborze mieszkania, oferowanego do sprzeda˙zy, i podaniu jego ceny jest [0 , ∞ ); • polegaj ˛ acego na dwukrotnym rzucie monet ˛ a jest  {OO, OR, RO, RR} ; zapis  OO  oznacza: orzeł wypadł w pierw- szym i drugim rzucie itd.; • polegaj ˛ acego na dwukrotnym rzucie kostk ˛ a jest  { (1 ,  1) ,  (1 ,  2) , . . . ,  (6 ,  5) ,  (6 ,  6) }. Czym jest prawdopodobie ´nstwo Podej´scie cz˛esto´sciowe: rzucaj ˛ ac monet ˛ a (uczciw ˛ a)  N  razy otrzymujemy  n  orłów— mo˙zna oczekiwa´c, ˙ze  n/N  b˛edzie d ˛ a˙zy´c do 1 / 2 gdy  N → ∞ Podej´scie aksjomatyczne: ka˙zdemu zdarzeniu  A , b˛ed ˛ acemu podzbiorowi przestrzeni zdarze´n elementarnych  S  przypo- rz ˛ adkowujemy liczb˛e  P  ( A ) ,  spełniaj ˛ ac ˛ a warunki: • 0 P  ( A ) 1; • gdy  A  =  ∅ ,  P  ( A ) = 0; • gdy  A  =  S ,  P  ( A ) = 1; • Je´sli zdarzenia  A 1 , A 2 , A 3 , . . .  si˛e wzajemnie wykluczaj ˛ a (tj.  Ai ∩ Aj  =  ∅  dla  i  =  j ) i suma  A 1  ∪ A 2  ∪ A 3  ∪ . . . jest zdarzeniem, to P  ( A 1  ∪ A 2  ∪ A 3  ∪ . . . ) =  P  ( A 1) +  P  ( A 2) +  P 

(…)

… takich, ze X(ω) = k. Analogicznie: X < k—zbiór zdarze´ elementarnych ω
n
n
˙
takich, ze X(ω) < k.
Definicja 3. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), je´li zbiór jej warto´ci x1 , x2 , . . . , mo˙na ustawi´ w ciag.
˛
˛
˛
˛ s
s
z
c
˛
˙
W pewnych podr˛ cznikach mozna znale´ c bardziej ogólna definicj˛ dysktretnej zmiennej losowej.
e

˛
e
G. Cantor (1873): wszystkich liczb rzeczywistych nie da si…
… jest niezalezne
n
od analogicznego zdarzenia w pierwszym rzucie.
˙
Mozna pokaza´ , ze:
c ˙
P (Y = 0) =
P (Y = 1) = 2 ×
P (Y = 2) =
2
1
10
= 0,01,
1
9
×
= 0,18,
10 10
2
9
10
= 0,81.
´
Liczba trafien Y w dwóch rzutach— c.d.
˙
Rozkład mozna przedstawi´ w postaci tabelki lub wykresu słupkowego:
c
0
0,01
1
0,18
2
0,81
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
k
P (X = k)
0.0
0.5
1.0
3
1.5
2.0
Rozkład dwumianowy
Symbol Newtona n =
k
n!
k!(n−k)!
jest równy liczbie podzbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego (0
k
n).
˙
Definicja 4. Mówimy, ze zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n ∈ N i 0 < p < 1, co w skrótowo
zapisujemy X ∼ Bin(n, p) (lub X ∼ Bin(n; p)), je´li
s
P (X = k) =
n k
p (1 − p)n−k ,
k
k = 0, 1, 2, . . . , n.
„Dziesi˛ ciokrotny rzut moneta”— przykład
e
˛
˙
Niech V oznacza liczb˛ orłów otrzymanych w dziesi…
…˛ ciokrotnym rzucie moneta (zakładamy, ze moneta jest „rzetelna”,
e
e
˛
1
˙
˙
˛
tj. prawdopodobie´ stwo otrzymania orła jest równe 2 oraz ze wyniki kolejnych rzutów sa od siebie niezalezne). Chcemy
n
obliczy´ prawdopodobie´ stwo;
c
n
P (V
9).
Rozwiazanie V ∼ Bin(10; 0,5),
˛
P (V
9) =P (V = 9) + P (V = 10) =
10
10
9
0,5 (0,5)1 +
10
9
10
1
11
=
+
=
.
1024 1024
1024
=
0,5
10
(0,5)0 =
Poj˛ cie dystrybuanty
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz