Przedziały ufności

9. Przedziaªy ufno±ci 1. Niech (X1, . . . , Xn) b¦dzie prób¡ z rozkªadu wykªadniczego Exp(µ, σ) o g¦sto±ci fµ,σ(x) = 1 σ exp( − x − µ σ ), x  µ, µ ∈ R, σ  0. Wiadomo, »e zmienne losowe X1:n i ¯ X − X1:n s¡ niezale»ne oraz X1:n ∼ E(µ, σ n ), 2n( ¯ X − X1:n) σ ∼ χ 2 2(n−1). Znale¹¢ estymatory przedziaªowe dla parametru σ i parametru µ na poziomie ufno±ci 1 − α. 2. Niech (X1, . . . , Xn) b¦dzie prób¡ z rozkªadu Poissona P(λ). Wiadomo, »e estymator 2 √ ¯ X parametru 2 √ λ jest asymptotycznie normalny. Zna- le¹¢ asymptotyczny przedziaª ufno±ci dla parametru λ na poziomie ufno±ci 1 − α. 3. Niech (X1, X2) b¦dzie dwuelementow¡ prób¡ z rozkªadu jednostajnego U(0, θ) na przedziale [0, θ], θ  0. Udowodni¢, »e X2:2, X2:2 √ α oraz X1 + X2 2 − √ α , X1 + X2 √ α s¡ przedziaªami ufno±ci dla parametru θ na poziomie ufno±ci 1 − α. Który z nich ma mniejsz¡ oczekiwan¡ dªugo±¢? 4. Niech X1, . . . , Xm oraz Y1, . . . , Yn b¦d¡ dwiema niezale»nymi próbami o rozkªadach N (µX, σ2 X ) i N (µY , σ 2 Y ) odpowiednio. Poda¢ przedziaªy ufno±ci na poziomie ufno±ci 1 − α dla ilorazu σ2 X /σ 2 Y w przypadku, gdy µX i µY s¡ znane i w przypadku, gdy nie s¡ one znane. 5. Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ prost¡ o rozkªadzie N (µ, 9). Wyznaczy¢ minimaln¡ wielko±¢ próby n, dla której Pµ( ¯ Xn − 1  ... zobacz całą notatkę