Asymptotyczna normalność i efektowność

8. Asymptotyczna normalno±¢ i asymptotyczna efektywno±¢ 1. Niech X = (X1, . . . , Xn) b¦dzie prób¡ z rozkªadu Poissona P(λ). Uza- sadni¢, »e estymator 2 ¯ Xn funkcji g(λ) = 2 √ λ jest asymptotycznie normalny i wyznaczy¢ jego asymptotyczn¡ wariancj¦. 2. Niech X1, . . . , Xn b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadzie normalnym N (µ, σ2), gdzie σ jest znane, oraz niech ˆ µ1 = ¯ X2, ˆ µ2 = ¯ X2 − σ2 n b¦d¡ estymatorami funkcji g(µ) = µ2. Pokaza¢, »e s¡ to estymatory asymptotycznie normalne, o ile µ = 0, i obliczy¢ ich asymptotyczn¡ efektywno±¢. Jaki jest ich asymptotyczny rozkªad, je±li µ = 0? 3. Niech (X1, . . . , Xn) b¦dzie prób¡ z rozkªadu wykªadniczego o g¦sto±ci fθ(x) = θ exp(−θx), x  0, θ  0. Czy estymator nieobci¡»ony ˆθ = (n − 1)/(n ¯ X) parametru θ jest esty- matorem (a) efektywnym, (b) asymptotycznie efektywnym? 4. Niech (X1, . . . , Xn) b¦dzie prób¡ z rozkªadu normalnego N (µ, σ2), gdzie µ jest znane. Czy estymator nieobci¡»ony S2 = 1 n−1 n i=1 (Xi− ¯ X)2 funkcji g(σ) = σ2 jest estymatorem (a) efektywnym, (b) asymptotycznie efektywnym? (Wskazówka: 1 σ2 n i=1 (Xi − ¯ X)2 ∼ χ 2 n −1.) 1 ... zobacz całą notatkę