Estymator nieobciążony

6. Estymator nieobci¡»ony o minimalnej wariancji, informacja Fishera, nierówno±¢ RaoCraméra, efektywno±¢ estymatora 1. Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ o rozkªadzie Pθ. Obliczy¢ informacj¦ Fishera I(θ) w przypadku: (a) Pθ jest rozkªadem normalnym N (µ, σ2), θ = µ ∈ R, (b) Pθ jest rozkªadem normalnym N (µ, σ2), θ = σ  0, (c) Pθ jest rozkªadem normalnym N (µ, σ2), θ = σ2  0. 2. Niech (X1, . . . , Xn) b¦dzie prób¡ losow¡ z rozkªadu dwumianowego B(m, θ). Estymator najwi¦kszej wiarogodno±ci parametru θ jest równy T = ¯ X/m . (a) Czy T jest estymatorem nieobci¡»onym? (b) Znale¹¢ wariancj¦ T . (c) Obliczy¢ informacj¦ Fishera zawart¡ w ci¡gu obserwacji (X1, . . . , Xn). (d) Czy estymator T jest efektywny? (e) Czy T jest estymatorem nieobci¡»onym o minimalnej wariancji? 3. Niech X = (X1, . . . , Xn) b¦dzie prób¡ losow¡ z rozkªadu Poissona P(λ) oraz g(λ) = e−λ. Mo»na pokaza¢, »e ˆ g(X) = 1 − 1 n X1+...+Xn jest ENMW(g(λ)). Czy jest to estymator efektywny? 4. Udowodni¢, »e je»eli X = (X1, . . . , Xn) jest prób¡ z rozkªadu normal- nego N (µ, σ2), gdzie µ jest znane, a σ  0 nieznane, to T (X) = 1 n π 2 n i=1 |Xi − µ| jest estymatorem nieobci¡»onym parametru σ, a jego efektywno±¢ wynosi 1 π−2 . 1 ... zobacz całą notatkę