Prognostyczny test Chowa (predictive failure test) Kluczowym założeniem przyjmowanym w teorii prognozowania ekonometrycznego jest założenie o aktualności (stabilności) modelu empirycznego dla okresów przyszłych. W trakcie poprzedniego wykładu poznaliśmy statystyki oparte na wynikach estymacji rekurencyjnej modelu ekonometrycznego. Obecnie omówimy, historycznie wcześniej powstałe, statystyki prognostycznej stabilności modelu oparte na arbitralnych podziałach próbkowego szeregu czasowego na ,,starsze'' i ,,nowsze'' obserwacje. Dla okresów przeszłych (historycznych) zakładaliśmy stałość parametrów strukturalnych, tj. pisaliśmy:
, (t=1,...,T) (1) gdzie: (i=0,1,...,K) oznaczają parametry strukturalne, ,,T'' oznacza liczebność próby. Zapisem macierzowym tego modelu jest, jak pamiętamy .
G.C.Chow rozpatrywał problem zmienności parametrów w modelu zapisanym powyżej. Dzielił on próbę obejmującą obserwacje z przedziału na dwie podpróby; pierwszą obejmującą najstarsze obserwacje oraz drugą - obejmującą najnowsze obserwacje, tj:
Rysunek 1. Podział szeregu czasowego w statystykach Chowa
Pierwsza próba Druga próba Dla uproszczenia przyjmiemy oznaczenie:
.
Zatem pierwsza podpróba liczy obserwacji, druga obserwacji, łącznie . Podział próby na podokresy dokonywany jest w taki sposób, że jest jednym ze środkowych okresów próby . Nie jest to jednak konieczne, ponieważ, jak pokażemy statystyka testu jest skonstruowana w taki sposób, że pierwsza próba musi spełniać warunek dodatniej liczby stopni swobody, natomiast próba druga może liczyć dowolną liczbę obserwacji, w szczególności jedną obserwację . Chow rozpatrywał model, w którym parametry strukturalne dla pierwszej podpróby były różne od tych dla próby drugiej, co zapisać można:
(2)
Macierze , oraz zostały więc podzielone w następujący sposób:
, , .
O składnikach zakłócających zakładamy, że są normalne i sferyczne w obu próbach, jednakże ich wariancje są w tych próbach różne. Możemy zatem zapisać:
.
Układ hipotez, który rozpatrywał Chow, zapisać można w następujący sposób:
.
Jeśli prawdziwa jest hipoteza zerowa, to model (2) redukuje się do modelu (1), który zachowuje swoją aktualność dla całej próby. Gdy hipoteza zerowa jest odrzucona, prognostyczne wykorzystanie modelu (1) nie jest uzasadnione, ponieważ jest on niestabilny.
(…)
… sposób:
.
Przy takim oznaczeniu, model dla całej próby można zapisać w następujący sposób:
gdzie jest macierzą jednostkową stopnia .
Układ hipotez rozpatrywanych przez Chow'a można zatem równoważnie zapisać jako:
.
Statystyka prognostycznej nieadektwatności Chow'a (ang. predictive failure test) ma następującą postać:
gdzie - jest sumą kwadratów reszt dla całej próby, zawierającej wszystkie obserwacje (przy założeniu…
…:
.
Hipoteza zerowa jest odrzucana, gdy:
.
gdzie jest wartością krytyczną testu Fishera-Snedecora dla ( ; ) stopni swobody i poziomu istotności bliskiego zeru. Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, równoznaczny z zaakceptowaniem modelu (1), wystąpi, gdy:
.
Inną wersją testu prognostycznej adekwatności modelu jest statystyka o rozkładzie , którą definiujemy jako:
.
Reguły podejmowania decyzji odnośnie…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)