Próba statystyczna

3.1. Próba statystyczna W statystyce matematycznej nie zakłada się pełnej znajomości rozkładu zmiennej losowej populacji generalnej (całej zbiorowości). Punktem wyjścia badania statystycznego jest przeprowadzenie doświadczeń (pomiaru albo obserwacji) na wybranych losowo elementach z całej populacji. Wyniki tych doświadczeń stanowią próbę statystyczną (reprezentację). Najprostszym rodzajem próby statystycznej jest tak zwana próba prosta .
Jeżeli jest ciągiem zmiennych losowych, które są niezależne i o tej samej dystrybuancie oraz jeżeli jest ciągiem wartości zaobserwowanych w doświadczeniu losowym zmiennych , to ciąg wartości reprezentuje statystyczną próbę prostą dokonaną na zmiennych losowych . Interpretacja wielkości oraz jest następująca: zmienne losowe są zdefiniowane przez procedurę pomiaru (losowania), zaś wielkości są zaobserwowanymi wartościami zmiennych , czyli są to liczby rzeczywiste (cechy), więc nie stanowią wielkości losowej .
W badaniach statystycznych przyjmuje się, że próba statystyczna jest znana, czyli , a przedmiotem wnioskowania są dystrybuanty ,  , , , czyli rozkłady prawdopodobieństwa. Na podstawie wyników próby prostej dążymy do wyciągnięcia wniosków dotyczących całej populacji.
Jeżeli na zmiennych losowych określimy funkcję , to funkcja U jest także zmienną losową i nosi nazwę statystyki . Statystyki mogą być definiowane w różny sposób. Ważną klasą statystyk są momenty z próby (absolutne lub centralne) lub stosunki tych momentów.
W informacji o terenie najważniejszym celem wnioskowania statystycznego jest estymacja (ocena) parametrów rozkładu pojedynczych zmiennych losowych lub ich funkcji. Wybranym przykładem może tu być analiza próby statystycznej w celu rozstrzygnięcia, jaka jest wartość przeciętna i wariancja obserwowanej zmiennej losowej.
Drugim celem wnioskowania statystycznego jest weryfikacja hipotez statystycznych czyli odpowiedź na pytanie, do jakiej rodziny należy rozkład interesującej nas zmiennej losowej, którą reprezentuje próba prosta. Na przykład, czy rozkład obserwowanej zmiennej losowej jest normalny.
Trzeci cel badań statystycznych, to problem współzależności zmiennych losowych w ustalonych modelach stochastycznych, np. modele regresji stosowane do prognozowania (predykcji).
Ważnym zagadnieniem dla geodety jest próba oparta na wynikach badania pełnego , dla której przypisuje się wszystkie cechy próby losowej .
Jeżeli przedmiotem analiz statystycznych jest ustalanie prawidłowości funkcyjnej (ilościowego modelu parametrycznego), wartości elementów próby traktujemy jako wielkości zawierające składnik losowy . Składnik systematyczny stanowią parametry ustalonego modelu, czyli , zaś składnik losowy ujmuje wpływ wszystkich czynników nie uwzględnionych w modelu. Zakładając addytywność obu składników można zapisać

(…)

… wariancji z próby
Niech będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie . Statystyka zdefiniowana wzorem
(3.2.9)
czyli suma kwadratów poszczególnych zmiennych losowych posiada rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody.
Wartość przeciętna zmiennej jest równa (3.2.10)
Wariancja zmiennej jest równa (3.2.11)
Dla określenia wariancji z próby prostej można korzystać z trzech różnych statystyk
gdy znana jest wartość przeciętna rozkładu zmiennych (3.2.12)
gdy korzysta się ze średniej arytmetycznej z próby, zamiast (3.2.13)
gdy korzysta się z definicji estymatora nieobciążonego
(3.2.14)
Twierdzenie:
Jeżeli stanowi ciąg niezależnych zmiennych losowych , to statystyka (nowa zmienna losowa)
ma rozkład chi-kwadrat o n stopniach swobody (3.2.15)
W celu uzasadnienia twierdzenia statystykę (3.2.15) przekształcimy do postaci
(3.2.16)
czyli do zmiennej standaryzowanej . Zatem rozpatrywana suma kwadratów (3.2.16) takich zmiennych ma rozkład chi-kwadrat o n stopniach swobody.
Zgodnie z (3.2.10) i (3.2.11) można zapisać
oraz (3.2.17)
zatem
(3.2.18)
(3.2.19)
Twierdzenie:
Jeżeli stanowi ciąg niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie , to zmienna losowa (statystyka)
(3.2.20)
gdzie:
ma rozkład chi-kwadrat…
…-kwadrat o stopniach swobody.
Postępując podobnie jak dla statystyki otrzymamy
(3.2.26)
(3.2.27)
Z porównania wzorów (3.2.19) i (3.2.27) widać, że błąd standardowy statystyk i rozkładu z próby wynosi
(3.2.28)
oraz
(3.2.29)
Twierdzenie:
Jeżeli pobieramy kolejno próby losowe o liczebności n z populacji o dowolnym rozkładzie, zdefiniowanym przez wartość średnią i wariancję , wtedy ze wzrostem n rozkład…
… z próby , rozkład wariancji z próby.
Dla wartości średniej można opisywać następujące parametry
Oznaczenie
Średnia
Odchylenie standardowe
Populacja
Wyniki próby
S lub Rozkład z próby
Dla wariancji z próby można zapisać
Oznaczenie
Wartość przeciętna
Wariancja 3.2.4. Rozkład ilorazu wariancji z prób prostych
W analizie wariancji najczęściej stosuje się rozkład F (Snedecora-Fishera), który definiuje…
... zobacz całą notatkę