Podstawy teoretyczne Załóżmy, że rozpatrujemy statyczny, liniowy model ekonometryczny, zapisany w skalarnej postaci jako:
, .
Składniki zakłócające tego modelu, jak zakładamy, spełniają założenia klasycznego modelu linowego, w tym sensie, że:
; ; ; ,
co odczytujemy, że realizacje składników zakłócających oscylują wokół zera, mają stałe wariancje, są nieskorelowane w czasie, są nieskorelowane ze zmiennymi objaśniającymi oraz mają rozkłady normalne.
Zapisem macierzowym tego modelu jest: gdzie występujące w tym zapisie wektory mają wymiary odpowiednio:
wektor obserwacji zmiennej endogenicznej - ,
macierz obserwacji zmiennych objaśniających - ,
wektor parametrów strukturalnych - ,
wektor składników zakłócających - .
Parametry modelu zapisanego wyżej są szacowane, zwykle metodą najmniejszych kwadratów, zgodnie z:
; ,
gdzie jest wymiarową macierzą wariancji-kowariancji błędów estymacji. Kluczowym założeniem, umożliwiającym wykorzystanie oszacowanego modelu ekonometrycznego jako narzędzia prognozowania jest założenie o stałości w czasie mechanizmu generowania obserwacji. Zakładamy zatem, że model zdefiniowany dla okresów próbkowych , jest aktualny dla okresów pozapróbkowych (prognozowanych) . W szczególności okres ten może być, choć nie musi być, okresem przyszłym, dla którego realizacje zmiennych modelu nie są znane. Przy spełnieniu założenia aktualności modelu, które będzie przedmiotem weryfikacji w trakcie dalszych części wykładu, możemy zapisać, że dla założonych wartości zmiennych egzogenicznych w okresie , modelem generującym pozapróbkowe realizacje zmiennej endogenicznej jest:
,
gdzie jest składnikiem zakłócającym w okresie prognozowanym. Założenie aktualności modelu, w węższym zakresie, interpretujemy nie tylko jako stałość w czasie parametrów strukturalnych modelu lecz również jak stałość parametrów rozkładu składników zakłócających w okresach pozapróbkowych, co zapisywać będziemy:
; ; ; ; .
Ponadto zakładać będziemy, że składniki zakłócające z okresów prognozowanych są nieskorelowane ze składnikami okresów próbkowych:
.
Zmienną , o czym mówiliśmy już w trakcie wykładów poprzednich, nazywamy zmienną prognozowaną. Zmienne objaśniające w okresach pozapróbkowych ( ) natomiast, nazywać będziemy zmiennymi prognozującymi. Wprowadzając oznaczenie:
dla 1x(K+1) wymiarowego wektora zmiennych prognozujących, zapiszemy zmienną prognozowaną w następujący sposób:
(…)
… ze zmiennymi objaśniającymi oraz mają rozkłady normalne.
Zapisem macierzowym tego modelu jest: gdzie występujące w tym zapisie wektory mają wymiary odpowiednio:
wektor obserwacji zmiennej endogenicznej - ,
macierz obserwacji zmiennych objaśniających - ,
wektor parametrów strukturalnych - ,
wektor składników zakłócających - .
Parametry modelu zapisanego wyżej są szacowane, zwykle metodą najmniejszych kwadratów…
… ze składnikami okresów próbkowych:
.
Zmienną , o czym mówiliśmy już w trakcie wykładów poprzednich, nazywamy zmienną prognozowaną. Zmienne objaśniające w okresach pozapróbkowych ( ) natomiast, nazywać będziemy zmiennymi prognozującymi. Wprowadzając oznaczenie:
dla 1x(K+1) wymiarowego wektora zmiennych prognozujących, zapiszemy zmienną prognozowaną w następujący sposób:
.
Dowolny liniowy predyktor przyszłej wartości zmiennej endogenicznej , w warunkach stabilności modelu, zdefiniujemy w następujący sposób:
,
gdzie jest wektorem nielosowym o wymiarach 1xT.
Wiedząc, że wyrażenie powyższe zapiszemy w postaci:
.
Błąd prognozy ex ante zdefiniowany jest następująco:
.
Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby prognoza była nieobciążona, tj. by spełniona była równość , jest:
.
Błąd prognozy nieobciążonej…
… średni błąd prognozy, przy przyjętym poziomie ryzyka, powodować będzie rozszerzanie się granic przedziału ufności. Z drugiej strony, dla danego poziomu średniego błędu prognozy, przedział ufności może być rozszerzony, gdy przyjmujemy mniejsze ryzyko lub zwężony, gdy akceptujemy większe ryzyko.
Większość z przyjętych założeń odnośnie do parametrów rozkładu składników zakłócających może być przedmiotem…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)