podstawy fizyki - wykład 4

KINEMATYKA PUNKTU
7. Ruch punktu we współrzędnych
kartezjańskich
Zadanie 1/7
Punkt porusza się w jednej płaszczyźnie.
Znaleźć:
1) równanie toru punktu,
2) poło enie punktu w chwili początkowej,
3) prędkość i przyspieszenie punktu w charakterystycznych
punktach toru
jeśli równania ruchu punktu mają postać:
a) x = a sin kt
2
y = b cos kt
d) x = 15t 2
b 0, k 0
b) x = bt
y = at 2
y = 4 − 20t
e) x = a cosh kt
a 0, b 0
c) x = a cos kt
y = b sin kt
y = b sinh kt
g) x = a cos 2kt
y = b sin kt
a 0, b 0
a 0, b 0
f) x = 2 + 4 cos 2t
y = 1 + 5 sin 2t
1
Zadanie 2/7
Cię ar C przesuwany jest po pionowej prowadnicy za pomocą linki
przerzuconej przez niewielki krą ek A odległy od prowadnicy o
wielkość OA=a.
O
u
A
a
Podać prędkość i przyspieszenie
cię aru w zale ności od odległości
OC=x, jeśli swobodny koniec linki
ciągnięty jest ze stałą prędkością u.
&
Odp.: xC = −
u 2
x + a2
x
x
C
2 2
&&C = − u a
x
x3
Zadanie 3/7
Pręt OA obracając się wokół nieruchomego punktu O ze stałą
prędkością kątową ω0, wprawia w ruch mały pierścień P, nasunięty
na poziomo zamocowany drut d. Punkt B zamocowania drutu
znajduje się w odległości b od nieruchomego punktu O.
Znaleźć prędkość i przyspieszenie pierścienia w funkcji odciętej x.
x
d
B
P
b
O
ω0
&
Odp.: x =
ω0
b
(b
2
+ x2
)
2
&& = 2 ω 0 x b 2 + x 2
x
b2
(
)
2
Zadanie 4/7
Suwak A zaopatrzony w pionowy pręt AB porusza się ze stałą
prędkością u po prostej poziomej w ten sposób, e pręt styka się w
punkcie M z nieruchomym okręgiem o promieniu r ustawionym w
płaszczyźnie pionowej.
B0
y
Wyznaczyć prędkość
i przyspieszenie
M
x
punktu M w funkcji
r
ϕ
kąta ϕ. W chwili t=0
pręt zajmował
poło enie A0B0.
A
&
Odp.: xM = u
A0
&&M = 0
x
&
y M = −utgϕ
&&M = −
y
u
u2
r cos 3 ϕ
Zadanie 5/7
Pręt AB o długości l porusza się w ten sposób, e jego końce
ślizgają się po dwóch wzajemnie prostopadłych prostych.
Wyznaczyć prędkość i przyspieszenie
y
punktu M, znajdującego się w odległości a
od końca A, w zale ności od poło enia xA ,
B
prędkości vA i przyspieszenia aA końca A.
l
M
a
vA aA
A
x
xA
l−a
&
Odp.: xM = ν A
l
&
y M = −ν A
ax A
l l 2 − x2
A
&&M = a A l − a
x
l
2
a l 2 x Aa A + ν A − a A x 3
A
&&M = − ⋅
y
3
l
l 2 − x2 2
(
(
A
)
)
3
Zadanie 6/7
Krzywka w kształcie półkola o promieniu r porusza się ruchem
postępowym ze stałą prędkością v0.
Znaleźć prędkość i przyspieszenie pręta
opierającego się na krzywce za pośrednictwem
rolki o promieniu ρ i swobodnie poruszającego
x
się w pionowej prowadnicy. W chwili
początkowej pręt zajmował najwy sze poło enie.
ρ
r
v0
&
Odp.: x =
2
ν 0t
2
2
(r + ρ ) − (ν 0t )
2
&& = ν 0
x
(r + ρ )2
[(r + ρ )2 − (ν 0t )2 ]32
Zadanie 7/7
Kulka mo e przesuwać się w kanaliku w kształcie odcinka paraboli
o równaniu x=y2/4. Równocześnie przesuwana jest za pomocą
prowadnicy poruszającej się ze stałą prędkością ν0.
Znaleźć prędkość i przyspieszenie kulki w chwili, gdy zajmuje ona
poło enie określone przez współrzędną xk=4. W chwili początkowej
kulka

(…)

… w chwili, gdy zajmuje ona
poło enie określone przez współrzędną xk=4. W chwili początkowej
kulka zajmowała poło enie określone współrzędną x0.
y
ν0
x
x0
Odp.:
&
x =ν0
&& = 0
x
& ν
y= 0
x
2
&& = − ν 0
y
2 x3
4
Zadanie 8/7
Końce linijki AB poruszają się po dwóch wzajemnie prostopadłych
prostych 0x i 0y, przy czym kąt ϕ=ωt (ω=const).
Podać równanie toru ruchu
y
punktu M znajdującego się w
odległościach a i b od końców
a
A
linijki oraz obliczyć jego
prędkość i przyspieszenie w
b
M
chwilach, gdy znajdzie się on na
prostych 0x oraz 0y.
ϕ
B
x
yM = 0
&
xM = 0
&
yM = bω
&&M = −aω 2
x
&&M = 0
y
xM = 0
&
xM = −aω
&&M = 0
x
xM = 0
yM = b
&
yM = 0
&&M = −bω 2
y
&
y M = −b y M = 0
0
xM = a
Odp.:
x2 y2
+
=1
a 2 b2
&
&&M = aω 2
xM = − a xM = 0
x
&
yM = 0
y M = −bω &&M = 0
y
&
xM = aω
&&M = 0
x
&&M = bω 2
y
Zadanie 9/7
Pocisk wystrzelono z prędkością początkową ν0=700m/s pod kątem
α1=60o do poziomu. Po jakim czasie ∆t nale y wystrzelić drugi
pocisk pod kątem α2=45o i z taką samą prędkością początkową, aby
pociski zderzyły się w locie? Na jakiej wysokości h i w jakiej
odległości l od miejsca wystrzału nastąpi zderzenie? Opór powietrza
pominąć, przyjąć przyspieszenie ziemskie g=9.81m/s2.
Odp.: ∆t =104.5sek, h=9786m, l…
… prędkością kątową ω wokół
nieruchomego punktu O.
Wyznaczyć poło enie, prędkość i przyspieszenie tłoka B w funkcji
poło enia korby określonego kątem ϕ. Stosunek długości korby do
długości l korbowodu AB wynosi r/l=k (0<k<1).
y
A
ϕ
l
r
O
ω
B
x
Odp.:
1


x B = r  sin ϕ +
1 − k 2 cos 2 ϕ 
k



sin 2ϕ
&
xB = ωr  cos ϕ + k

2 1 − k 2 cos 2 ϕ






2
4 
&&B = ω 2 r  − sin ϕ + k cos 2ϕ − k cos ϕ…
... zobacz całą notatkę