podstawy fizyki - wykład 5

8. Ruch punktu we współrzędnych biegunowych
prędkość i przyspieszenie punktu w układzie biegunowym
poło enie punktu A określone jest przez:
– promień r=r(t)
– kąt ϕ=ϕ(t)
ϕ
y
składowe prędkości:
&
– składowa promieniowa vr = r
&
vϕ = rϕ
– składowa kątowa
hu
tor ruc
v
składowe przyspieszenia:
– składowa promieniowa ar
– składowa kątowa
a
ar
vϕ
aϕ
r(t)
2
2
prędkość wypadkowa v = vr + vϕ
punktu
ϕ(t)
vr
A
x
0
&
r
= && − rϕ 2
&& & &
aϕ = rϕ + 2rϕ
2
przyspieszenie wypadkowe a = ar2 + aϕ
&
x = vr cos ϕ − vϕ sin ϕ
&
y = vr sin ϕ + vϕ cos ϕ
&& = ar cos ϕ − aϕ sin ϕ
x
&& = ar sin ϕ + aϕ cos ϕ
y
1
Zadanie 1/8
Punkt porusza się w jednej płaszczyźnie.
Znaleźć:
1) równanie toru punktu,
2) poło enie punktu w chwili początkowej,
3) ogólne wyra enia na prędkość i przyspieszenie punktu
jeśli równania ruchu punktu mają postać:
a) r = 2a cos ωt
ϕ = ωt
a, ω 0
c)
b) r = k1t
ϕ = k 2t
d)
r = r0 eωt
ϕ = ωt
k1 , k 2 0
r0 , ω 0
r = ct
b
ϕ=
t
b, c 0
Zadanie 2/8
W mechanizmie przedstawionym na rysunku dane są:
ϕ=kt (k0), AD=BD=c, BC=b.
b
Znaleźć tor,
prędkość i
B
przyspieszenie
punktu C.
b
c
A
ϕ
D
c+b
c
Odp.:
C
r = 2c cos ϕ + b (kardioida)
promień r zaczepiony w punkcie A
vr = −2kc sin kt
2
vϕ = 2kc cos kt + kb
2
ar = −4k c cos kt − 2k b aϕ = −4k 2 c sin kt
2
Zadanie 3/8
Dwa pręty połączone ze sobą pod kątem prostym przesuwają się w
tulejach A i B mogących obracać się wokół sworzni.
D
Znaleźć tor, prędkość i przyspieszenie
punktu D jeśli AB=CD=b, ϕ=kt (k0).
b
b
C
ϕ
A
B
b
b
r = b cos ϕ + b (kardioida)
Odp.:
vr = −bk sin kt
2
ar = −bk (1 + 2 cos kt )
promień r zaczepiony w punkcie A
vϕ = bk (1 + cos kt )
aϕ = −2bk 2 sin kt
Zadanie 4/8
Dwa pręty OA i O1B połączone krzy akiem D mogą obracać się
wokół punktów O i O1 zachowując cały czas kąt prosty między sobą.
Znaleźć tor, prędkość i przyspieszenie
punktu D jeśli OO1=a, ϕ=kt (k0)
B
D
O
a/2
ϕ
A
O1
a
Odp.: r = a cos ϕ
(okrąg)
promień r zaczepiony w punkcie O
vr = − ak sin kt
2
ar = −2ak cos kt
vϕ = ak cos kt
aϕ = −2ak 2 sin kt
3
Zadanie 5/8
Pręt OM o długości l wprawiony jest w ruch za pomocą korby O1A,
której kąt obrotu wynosi ϕ=kt (k0).
Znaleźć prędkość i przyspieszenie
punktu M, gdy O1O=O1A.
M
O1
ϕ
A
l
α
Odp.:
O
vr = 0
vα =
kl
2
− k 2l
aα = 0
4
promień r zaczepiony w punkcie O
ar =
Zadanie 6/8
Wewnątrz rurki AB o długości l mogącej obracać się wokół punktu A,
znajduje się suwak D połączony z punktem C nitką o długości l.
B
Znaleźć tor, prędkość i
przyspieszenie suwaka, jeśli
rurka tworzy z odcinkiem AC kąt
ϕ=kt (k0) a odcinek AC=l.
l
D
A
ϕ
C
l
Odp.:
r = 2l sin
ϕ
2
promień r zaczepiony w punkcie A
k
vr = kl cos t
2
5 2
k
ar = − k l sin t
2
2
k
vϕ = 2kl sin t
2
k
2
aϕ = 2k l cos t
2
4
Zadanie 7/8
W mechanizmie przedstawionym na rysunku trzpień AB porusza się
w górę ze stałą prędkością u.
Podać równania ruchu
punktu C pręta OC oraz
wartość prędkości tego
punktu w momencie, gdy
kąt ϕ=π/4, jeśli w chwili
początkowej ϕ=0. Dane
są

(…)

… tego
punktu w momencie, gdy
kąt ϕ=π/4, jeśli w chwili
początkowej ϕ=0. Dane
są wymiary a oraz l.
C
a
B
ϕ
O
u
l
A
au
ut
v=
2l
l
promień r zaczepiony w punkcie O
Odp.: r = a
ϕ = arctg
Zadanie 8/8
Korba OA, obracając się ze stałą prędkością kątową ω0 wokół punktu O, przemieszcza pręt AC połączony z nią przegubowo w punkcie A i przesuwający się wewnątrz
rurki B obracającej się wokół nieruchomej osi. Znaleźć tor…
... zobacz całą notatkę