podstawy fizyki - wykład 13

15. Energia, pęd, kręt w ruchu ciała sztywnego.
Równowa ność energii i pracy.
Twierdzenie Koeniga
Energia kinetyczna ciała sztywnego równa jest sumie
energii kinetycznej ruchu postępowego z prędkością środka masy
i energii ruchu obrotowego wokół osi przechodzącej przez środek
masy.
l
ω
1
1
Ek = mυ 2 + J l ω 2
2
2
m
υ
m – masa ciała
Jl – moment bezwładności
względem osi obrotu
Energia kinetyczna
układu ciał sztywnych
równa jest
sumie energii kinetycznych
poszczególnych ciał.
c
Przyrost energii mechanicznej
układu ciał sztywnych w skończonym przedziale czasu
równy jest
sumie prac sił zewnętrznych niepotencjalnych
działających układ.
(E ( ) + E ( ) ) − (E ( ) + E ( ) ) = W
2
2
p
k
(
Em2 )
1
k
1
p
1, 2
(1
Em )
m1
Energia potencjalna układu znajdującego się w polu grawitacyjnym
mi
równa jest
h1
sumie iloczynów cię arów poszczególnych ciał
Ep=0
hi
i wzniesienia ich środków masy ponad dowolnie obrany poziom.
n
n
E p = ∑ Qi hi = ∑ mi ghi
i =1
i =1
hn
mn
1
Momenty bezwładności
z
względem
płaszczyzn
m
π2
J π 1 = ∫ z 2 dm
π3
dm
x
Jx =
m
y
Jy =
2
y
x
π1
J π 3 = ∫ x dm
Jz =
J yz = J zy = ∫ yzdm
m
J zx = J xz = ∫ zxdm
2
+ z2
∫ (x
2
+ y2
2
2
2
2
biegunowy J O = ∫ r dm = ∫ (x + y + z )dm
m
m
+ z 2 dm
m
m
dewiacji
J xy = J yx = ∫ xydm
∫ (x
)
)dm
)dm
2
m
m
z
∫ (y
m
J π 2 = ∫ y 2 dm
r
O
względem
osi
 Jx
[J ] = − J yx

 − J zx

− J xy
Jy
− J zy
m
− J xz  macierz

− J yz  momentów
J z  bezwładności

m
J O = Jπ 3 + J π 2 + Jπ1
biegunowy moment bezwładności
równy jest sumie momentów
bezwładności względem trzech
wzajemnie prostopadłych płaszczyzn
przecinających się w biegunie
moment bezwładności względem
J x = J π1 + J π 2 osi równy jest sumie momentów
J y = J π 1 + J π 3 bezwładności względem
wzajemnie prostopadłych
J z = J π 2 + J π 3 płaszczyzn przecinających się
Twierdzenie Steinera
Moment bezwładności ciała materialnego względem
dowolnej osi równy jest
sumie momentu bezwładności względem osi
równoległej przechodzącej przez środek masy
oraz
iloczynu masy ciała i kwadratu odległości między
tymi dwiema osiami.
wzdłu tej osi
m
lc
h
l
c
Jl=Jlc+mh2
2
Momenty bezwładności wybranych brył jednorodnych
względem osi centralnych
cienki pręt
cylinder
kula drą ona
z
z
l
z
m
l
c
r
m
x
R
m
y
c
y
Jx = 0
r
c
y
x
R
ml 2
Jy = Jz =
12
x
m 2
R + r2
2
m
l2 
J y = J z =  R2 + r 2 + 

4
3

m 2
l2 
Jc =  R + r 2 + 
2
6


Jx =
(
)
2 R5 − r 5
Jx = J y = Jz = m 3
5 R − r3
3 R5 − r 5
Jc = m 3
5 R − r3
prostopadłościan
z
m
y
c
c
a
x
b
m
12
m
Jy =
12
m
Jz =
12
m
Jc =
12
Jx =
(b
(a
(a
(a
)
+c )
+b )
2
+ c2
2
2
2
2
2
+ b2 + c2
)
3
Pęd ciała sztywnego i układu ciał
m
F1
υ
c
Pęd ciała sztywnego równy jest iloczynowi
masy ciała
i prędkości jego środka masy
r
r
p = mυ
Fn
Fi
r
n r
Pochodna względem czasu pędu ciała sztywnego dp
= ∑ Fi
równa jest sumie wszystkich sił zewnętrznych
dt i =1
działających na to ciało.
Przyrost pędu ciała sztywnego w

(…)

… poślizgu z pomijalnie małą
prędkością początkową jednorodny wałek
o masie m i promieniu r.
Przy jakim kącie α0 wałek oderwie się od
półwalca?
r
R
m
α0
4
Odp.: α 0 = arccos ≅ 55.2o
7
6
Zadanie 5/15
W poło eniu mechanizmu pokazanym
na rysunku korba OA posiada prędkość
kątową ω.
Jaka będzie prędkość kątowa ω’ korby
w chwili, gdy punkt A zajmie najni sze
poło enie, jeśli na korbę działa stały
moment hamujący…
…
i jakby do tego punktu przyło one były
wszystkie siły zewnętrzne.
4
Kręt ciała sztywnego i układu ciał
ω
m
Kręt ciała materialnego względem osi obrotu
równy jest iloczynowi
momentu bezwładności względem osi obrotu
i prędkości kątowej ciała.
r
r
K l = J lω
c
l
z
Kręt ciała materialnego
względem środka masy
m
 Jx
[K ] = − J yx

 − J zx

ω
c
y
x
− J xy
Jy
− J zy
Pochodna względem czasu krętu układu
ciał materialnych…
… z  ω z   K z 
   
O
y
r
r
r
r
K O = K c + r × mυ
5
m
Zadanie 1/15
Jednorodny krą ek o masie m i promieniu r
puszczono bez prędkości początkowej pozwalając mu
odwijać się z pionowo przebiegającej, niewa kiej nici.
Jaką prędkość υ uzyska środek O krą ka po przebyciu
wysokość h?
Odp.: υ =
4
gh
3
O
h
O
r
υ
m
Zadanie 2/15
Z jakiej co najmniej wysokości h nale y
puścić jednorodny wałek o masie m…
… oraz korbowodu o długości l i
masie m2. W chwili, gdy punkt A zajmował najwy sze poło enie
nadano mu pomijalnie małą prędkość skierowaną w prawo.
Obliczyć prędkość punktu A w chwili, gdy korba przyjmie poziome
poło enie, jeśli na tłok B działa stała siła F=(m1+m2)g/4.
Masę tłoka zaniedbać. Korbę i korbowód potraktować jako
jednorodne, cienkie pręty.
A
r
m1
l
m2
F
O
B
7
Zadanie 7/15
Na korbę OA mechanizmu…
... zobacz całą notatkę