podstawy fizyki - wykład 14

16. Dynamika ruchu płaskiego ciała sztywnego
y
Fn
m
ay
M1
εz
Fi
ri
ax
c
Mm
Mi
F1
r
r r
r
Fi = i Fx + j Fy + k 0
r
r
r r
ri = i rx + j ry + k 0
r
r
r
r
M i = i 0 + j 0 + kM z
x
równania dynamiczne
ruchu postępowego
n
n
ma x = ∑ Fix
ma y = ∑ Fiy
i =1
i =1
równanie dynamiczne
ruchu obrotowego
n
(
)
m
J cε z = ∑ rix Fiy − riy Fix + ∑ M iz
i =1
i =1
Zadanie 1/16
Jednorodny walec o masie m i promieniu r toczy się bez poślizgu
po poziomej płaszczyźnie pod wpływem poziomej siły F
przyło onej do jego środka O.
Jakie przyspieszenie a0 posiada środek walca i z jakim
przyspieszeniem kątowym ε walec się obraca?
Ile musi wynosić współczynnik tarcia µ między walcem i
podło em, aby nie nastąpił poślizg?
Dany jest współczynnik tarcia toczenia f.
m
r
F
O
2 F
f
Odp.: a0 =  − g 
3m
r
a
ε= 0
r
1 F
f
µ≥ 
 mg + 2 r 

3

1
Zadanie 2/16
Jednorodny walec o promieniu r stacza się po
równi nachylonej pod kątem α do poziomu.
Współczynnik tarcia między walcem a równią
wynosi µ, zaś współczynnik tarcia toczenia f.
Jaki musi być kąt nachylenia równi, aby
pomiędzy nią i walcem nie było poślizgu?
m
r
α
f

Odp.: α ≤ arctan  3µ − 2 
r

Zadanie 3/16
Wyznaczyć przyspieszenie środka O jednorodnego
walca o masie m i promieniu r odwijającego się z
pionowo przebiegającej nici. Obliczyć siłę S w nici.
Odp.: aO =
2
g
3
m
r
O
1
S = mg
3
Zadanie 4/16
Na równi nachylonej pod kątem α do poziomu uło ono dwie
jednorodne rolki o masach m i promieniach r, na nich zaś deskę o
masie M, po czym układ swobodnie puszczono.
Obliczyć przyspieszenie deski
zakładając, e w układzie nie ma
M
poślizgu zaś współczynnik tarcia
m
r
tocznego jest do pominięcia.
r
4 M + 4m
Odp.: a = g sin α
4 M + 3m
m
α
Zadanie 5/16
Jednorodny, cienki pręt o masie m i
długości l zawieszono poziomo na
dwóch niciach. W pewnej chwili nić B
przecięto. Jaka siła wystąpi w tym
momencie w nici A?
Odp.: R A = 1 mg
m
B
A
l
4
2
Zadanie 6/16
Jednorodny, cienki pręt AB o masie m i
długości l zawieszono w punkcie A na
pionowej nici, zaś w punkcie B oparto
pod kątem α o gładką, poziomą podłogę.
Wyznaczyć reakcję podłogi na pręt w
chwili przecięcia nici.
Odp.: RB =
mg
3 cos 2 α + 1
A
l
m
α
(w górę)
Zadanie 7/16
Prostokątną, jednorodną płytkę o masie m i wymiarach
a×b zawieszono przegubowo w jednym z naro y i
wychylono z poło enia równowagi o niewielki kąt α.
Wyznaczyć okres drgań tak powstałego wahadła
fizycznego.
Odp.: T = 2π
2
a2 + b2
3g
2m1 + 2m2
3m1 + 2m2
S = m2 g
b
α
m1
r1
O1
m1
3m1 + 2m2
r2
Zadanie 9/16
Szpulę o masie m, promieniach r i R oraz
momencie bezwładności J0 względem osi
ustawiono na równi o kącie nachylenia α. Na nici
nawiniętej na szpuli zawieszono cię ar o masie
M. Przy zało eniu braku poślizgu wyznaczyć
przyspieszenie a0 środka szpuli.
Odp.: a0 = gR
m
a
Zadanie 8/16
Na jednorodny krą ek o masie m1 i promieniu
r1 obracający się bez tarcia wokół nieruchomej
osi O1 nawinięto nić, z której odwija się
jednorodny krą ek o masie m2 i promieniu r2.

(…)

… jest współczynnik tarcia
O
tocznego f między szpulą i płytą oraz
M
F
współczynnik tarcia ślizgowego µ
między płytą i podło em.
a0 =
Zadanie 15/16
Mechanizm planetarny składający
się z koła centralnego o promieniu
R, satelity o masie m i promieniu r
oraz korby o masie M ustawiono w
pionowej płaszczyźnie. Obliczyć
przyspieszenie kątowe ε0 korby OA
przy jej poziomym poło eniu. Korbę
potraktować jako jednorodny, cienki
pręt zaś satelitę jako jednorodny
walec. Tarcie toczenia satelity oraz
inne opory ruchu pominąć.
F (R − r ) − mgf − µ (M + m )g (R − r )
J
R 
M  − 1(R − r ) + 0 + mr
r
r

R
O
Odp.: ε 0 = 3
M
r
A
m
g  M + 2m 


R + r  2 M + 9m 
5
Zadanie 16/16
Jednorodny krą ek o masie m i promieniu r
rozpędzono do prędkości kątowej ω0 po czym
postawiono na chropowatej, poziomej
płaszczyźnie. Po jakim czasie t od chwili
zetknięcia zniknie poślizg między krą kiem a
płaszczyzną i jaka będzie wówczas prędkość υ
środka krą ka jeśli współczynnik tarcia
ślizgowego wynosi µ?
ω0r
Odp.: t =
3µg
m
r
ω0
1
3
υ = ω0r
Zadanie 17/16
Na szorstkiej równi o kącie nachylenia α poło ono szpulę o masie M,
promieniach r i R oraz momencie bezwładności J0 względem osi. Na
szpulę nawinięto nić przerzuconą przez jednorodny…
… o masie M,
O
spoczywającej na poziomej płaszczyźnie,
M
poło ono jednorodny walec o masie m i
F
promieniu r. Do płyty przyło ono
poziomą siłę F.
Obliczyć przyspieszenie płyty a oraz przyspieszenie środka walca
a0 przy zało eniu braku poślizgu między płytą a walcem. Dany jest
współczynnik tarcia tocznego f między walcem i płytą oraz
współczynnik tarcia ślizgowego µ między płytą i podło em.
f
− 3µ (M + m )g
r
3M + m
3F − 2 gm
Odp.: a =
f
− µ (M + m )g
r
3M + m
F + 2 gM
a0 =
Zadanie 13/16
Jaką maksymalną siłę Fmax mo na przyło yć do płyty z zadania 12,
aby między nią i walcem nie wystąpił poślizg, jeśli współczynnik
tarcia ślizgowego między tymi ciałami wynosi równie µ?
f


Odp.: Fmax = 2 g  2µ − M + µm
r


4
a)
Zadanie 14/16
m
Na chropowatej płycie o masie M,
R
r
spoczywającej na poziomej…
… obrotu J
ka de. Do ka dego z przednich kół napędowych przyło ony został
moment M0. Jakie przyspieszenie uzyska pojazd? Jaki musi być
współczynnik tarcia między kołami napędowymi i jezdnią, aby nie
nastąpił poślizg? Dane są wymiary c, d, h poło enia środka masy
nadwozia.
c
d
M c
r
Zadanie 11/16
Rozwiązać zadanie 10
przy zało enia napędu na
koła tylne.
m
m
r
h
M0
m
Zadanie 12/16
r
Na chropowatej płycie…
... zobacz całą notatkę