To tylko jedna z 7 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
2 Podstawowe własności estymatorów.
Przedmiot teorii estymacji.
Teoria estymacji jest działem statystyki matematycznej zajmującej się oceną nieznanych parametrów
rozkładu interesujących nas cech w populacji generalnej na podstawie wartości tych parametrów.
Wnioskowanie statystyczne opiera się na zbieraniu i przetwarzaniu informacji. Zbieranie informacji jest
niczym innym, jak przygotowaniem wyników badań wszelkiego rodzaju do określonej analizy. Wyniki
prób losowych, czy też obserwacje z szeregów czasowych stanowią materiał, dzięki któremu analityk
jest w stanie wnioskować o prawidłowościach zachodzących w czasie, czy przestrzeni określonej
populacji generalnej.
Przykładowo badamy rozkład wzrostu ludności w Polsce – cecha X. Zakładamy, że rozkład tej cechy X
w populacji jest rozkładem normalnym, zaś szukaną wielkością jest wartość oczekiwana m. Wartość m
jest zatem szukanym parametrem rozkładu cechy X. W celu oszacowania tych wielkości zbieramy dane
z próby losowej o liczebności n. Następnym krokiem będzie znalezienie wygodnej statystyki (funkcji)
Tn z próby, która posłuży do oszacowania parametru m. Rolę takiej statystyki może spełniać np. wartość
średnia z próby. Mówimy zatem, że wartość średnia z próby jest estymatorem wartości oczekiwanej
rozkładu normalnego. Obliczoną przez nas na podstawie konkretnej próby wartość średnią nazywamy
oceną parametru - estymatorem.
Definicje
Załóżmy, że badamy rozkład cechy X w populacji, rozkład ten jest zależny od parametru θ. Wartość
parametru zostanie oszacowana na podstawie n - elementowej próby losowej.
Estymator Tn parametru θ to dowolna statystyka z próby
wyznaczyć wartości parametru θ.
, pozwalająca
Ponieważ każda ze zmiennych losowych Xi ma rozkład identyczny z rozkładem cechy X w populacji
generalnej, a rozkład ten zależy od parametru θ, zatem Tn jest zmienną losową, mającą rozkład również
zależny od parametru θ.
Oceną parametru nazwiemy każdą realizację tn zmiennej losowej Tn. Oczywiście ocena parametru
będzie prawie zawsze różnić się od oryginalnej wartości parametru θ.
Własności estymatorów.
Definicja estymatora pozostawia dużą dowolność w wybraniu danej statystyki do szacowania parametru,
nie pozwalając jednocześnie na ocenę która ze statystyk jest "dobrym" estymatorem. Aby sprawdzić,
czy dana statystyka jest dobrym kandydatem na estymator parametru, powinniśmy sprawdzić, czy
spełnia ona zestaw własności charakteryzujących estymator.
Estymatorem parametru θ nazywamy każdą funkcję (statystykę) θ n = U ( X 1 , X 2 ,..., X n ) , która ma tę
ˆ
własność, że prawdopodobieństwo zdarzenia θ zbliża się do θ i jest tym bliższe jedności, im większa
n
jest liczebność próbki. Wynika z tego, że estymatorem parametru θ w populacji może być każda taka
ˆ
funkcja θ n z wartości wylosowanych do próbki, że dla arbitralnie obranej, lecz niekoniecznie dowolnej
małej dodatniej liczby c zachodzi relacja:
ˆ
lim P{| θ n − θ |
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)