To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
2.7. Pochodna funkcji wektorowej Załóżmy, że mamy funkcję wektorową typu (2.44), w której zmienną niezależną jest skalar. Przyrostowi zmiennej niezależnej s będzie towarzyszyć zmiana wektora r (s). Jeżeli początki wszystkich wektorów r (s) przyłożymy w jednym punkcie O, to ze zmianą zmiennej niezależnej s koniec tego wektora zakreśli w przestrzeni pewną linię nazywaną hodografem funkcji wektorowej r (s) (rys. 2.13). Niech wartościom s i s + s odpowiadają wektory r (s) i r (s + s), a wektor r jest przyrostem wektora r (s) łączącym końce obu wektorów. Wówczas pochodną funkcji wektorowej względem zmiennej niezależnej nazywamy granicę stosunku przyrostu tej funkcji do przyrostu zmiennej niezależnej, gdy przyrost zmiennej niezależnej dąży do zera: ( ) ( ) . s s s s s lim ds d 0 s ∆ − ∆ + = ∆ ∆ = → ∆ r r r r (2.46) r (s) O r (s+ ∆s) ∆ r ∆ ∆ r s A1 A d ds r hodograf Rys. 2.13. Ilustracja pchodnej funkcji wektorowej Iloraz ∆ r/ ∆s jest wektorem o zwrocie i kierunku wektora ∆ r , czyli ma kierunek cięciwy. Gdy ∆s dąży do zera, to cięciwa przechodzi w styczną. Zatem pochodna wektora jest wektorem stycznym do hodografu. Z przedstawionego określenia pochodnej funkcji wektorowej wynika, że z formalnego punktu widzenia jest ona zdefiniowana podobnie do pochodnej funkcji skalarnej. Wynika z tego, że do pochodnych sum i iloczynów dwóch wektorów można stosować wzory wyprowadzone w analizie funkcji skalarnych. Dla dwóch funkcji wektorowych a (s) i b (s) słuszne są następujące zależności: ( ) , ds d ds d ds d b a b a ± = ± (2.47) ( ) , ds d ds d ds d b a b a b a ⋅ + ⋅ = ⋅ (2.48) ( ) . ds d ds d ds d b a b a b a × + × = × (2.49) W ostatnim wzorze nie wolno zmieniać kolejności mnożenia, ponieważ iloczyn wektorowy jest nieprzemienny. Gdy k(s) jest funkcją skalarną, to pochodna iloczynu tej funkcji przez wektor ( ) . ds d k ds dk k ds d a a a + = (2.50) Jeżeli zmienna niezależna s jest funkcją innego parametru s(l), to pochodną wektora obliczamy podobnie do pochodnej skalarnej funkcji złożonej: ( ) [ ] . dl ds ds d dl l s d a a = (2.51) Mamy również: . const gdy , 0 ds d = = a a (2.52)
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)