Pisemne zadania domowe z ekonometrii.

Jerzy Marzec, Katedra Ekonometrii i Badań Operacyjnych, paw. C pokój 307, UEK w Krakowie      Przedmiot: Ekonometria II  Pisemne zadania domowe  Zad 1.  RozwaŜamy następujący proces AR(1):  t t t ξ ε ρ α ε + ⋅ + = −1 , gdzie  ( ) ( ) ( ) 1 , 0 , cov , , 0 2

(…)

… Jerzy Marzec, Katedra Ekonometrii i Badań Operacyjnych, paw. C pokój 307, UEK w Krakowie
Przedmiot: Ekonometria II
Pisemne zadania domowe
Zad 1. RozwaŜamy następujący proces AR(1):
ε t = α + ρ ⋅ ε t −1 + ξ t , gdzie E (ξ t ) = 0, E (ξ t ) = σ ξ2 , cov(ξ t , ξ s ) = 0 dla t ≠ s, ρ < 1 .
PokaŜ, Ŝe bezwarunkowe momenty – wartość oczekiwana i wariancja – wynoszą
odpowiednio
σ ξ2
E (ε t ) =
≡ µ , V (ε t ) =
dla ∀t .
1− ρ
1− ρ 2
α
Zad 2. W przypadku procesu AR(1) omawianego w zadaniu 1) obliczyć kowariancję i
współczynnik korelacji, tzn.:
df
df
cov(ε t , ε s )
cov(ε t , ε s ) = E [(ε t − E (ε t )) ⋅ (ε s − E (ε s ))] i corr (ε t , ε s ) =
dla t≠s.
V (ε t ) ⋅ V (ε s )
Ile wynoszą te charakterystyki w przypadku, gdy µ=0?
Zad 3. RozwaŜamy model równań pozornie nieskorelowanych
yi = X i β i + ε i dla i = 1, K , m , gdzie
gdy i = j
 σ ij ,
E (ε it ⋅ ε js ) = 
.
0 w przeciwnym przypadku
W szczególności przedmiotem zainteresowania jest model (m=2):1
E (ε i ) = 0,
 y1 = X 1β1 + ε 1
.

 y2 = X 2 β 2 + ε 2
Pokazać, Ŝe uogólniona metoda najmniejszych kwadratów (estymator Zellnera) jest
równowaŜny zastosowaniu zwykłej MNK dla kaŜdego równania osobno, gdy X1=X2.
Zad 4. Niech dany będzie model dwóch…
…
Wskazówka: przy szacowaniu macierzy równoczesnych kowariancji
(
) (
)
ˆ ′
ˆ
skorzystać z ε i ′ ⋅ ε j = yi − X i β i ⋅ y j − X j β j = ? . Przyjąć, Ŝe
ˆ ˆ
1 ˆ ′ˆ

ˆ
Σ = sij =  ε iMNK ε MNK  .
j
T

[ ]
Dla obu parametrów obliczyć oceny estymatora Zellnera (zadanie za podwójną liczbę punktów).
1
Źródło: Greene W.H. [2003], Econometric Analysis (5th editon), Macmillan Publishing Company, New York.
2…
... zobacz całą notatkę