Łączna estymacja modelu SURE: estymator Zellnera

Nasza ocena:

5
Pobrań: 21
Wyświetleń: 539
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Łączna estymacja modelu SURE: estymator Zellnera  - strona 1 Łączna estymacja modelu SURE: estymator Zellnera  - strona 2 Łączna estymacja modelu SURE: estymator Zellnera  - strona 3

Fragment notatki:

Łączna estymacja modelu SURE: estymator  Zellnera      1.  Notacja, cz. 1  W  analizie  modelu  typu  SURE  bardzo  ważne  jest  dokładne  rozumienie  notacji.  Dużo tu osiągamy dzięki manipulowaniu zapisem, dlatego zostanie on dość dokładnie  wyjaśniony. Ale trzeba bardzo uważać, co który symbol oznacza, bo będziemy sobie  dorzucać indeksy z góry i dołu; proszę więc pilnie baczyć co jest co i jaki ma wymiar.   Rozważmy  liniowy  model  wielorównaniowy  złożony  z   n   osobnych  równań  regresji. Każde równanie ma postać podobną jak w KMRL, czyli:  ( ) ( )( ) ( )1 1 1 × × × × + = T k k T T X y ε β   W takim układzie równań każde równanie ma swoiste zmienne objaśniane, swoiste  zmienne objaśniające i swoiste parametry. Zakładamy dla uproszczenia, że w każdym  równaniu  jest  tyle  samo  ( T )  obserwacji.  Dla  wszystkich   T   obserwacji  można  taki  układ zapisać jako:    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( . . 2 2 1 1 × × × × × × × × × × × × + = + = + = T n k n k T n T n T k k T T T k k T T n n X y X y X y ε β ε β ε β     gdzie górny indeks w nawiasie ( i ) odpowiada numerowi równania (tylko w przypadku  macierzy X indeks jest na dole i bez nawiasu – bo przy dużym  X  nie stosowaliśmy  dotąd  dolnego  indeksu  i  nie  ma  się  z  czym  pomylić).  W   i -tym  równaniu  jest  k i   zmiennych objaśniających i k i  parametrów.  Powyżej układ ten jest zapisany dla wszystkich  n  równań i  T  obserwacji łącznie. Dla  obserwacji o numerze  t  taki układ ma postać:    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( . .    2 2 1 1 n t k n k n t n t t k k t t t k k t t n n x y x y x y ε β ε β ε β + = + = + = × × × × × ×       t  = 1,..., T.  Tutaj  )( i t x  oznacza  t -ty wiersz macierzy Xi.   Gdyby  w  powyższym  zapisie  zebrać   równoczesne   (odpowiadające  temu  samemu  numerowi  obserwacji,  czyli  temu  samemu   t )  wartości   y   oraz  ε  (czyli  powyżej  występujące jeden pod drugim 

(…)

… zwykłej MNK stosowanej osobno dla każdego równania
(lub łącznie dla dużego układu „z falą”). Jeden przypadek jest intuicyjnie oczywisty:
gdy Σ jest macierzą diagonalną, równoczesne kowariancje składników losowych
różnych równań są zerowe, więc nie występuje efekt SURE – między równaniami nie
ma wtedy żadnego związku.
Drugi przypadek jest nieco mniej oczywisty – ma on miejsce wtedy, gdy zmienne…
… dla tej samej obserwacji, musimy rozważyć macierz
kowariancji wektora równoczesnych składników losowych:
ε t = ε t(1) ε t( 2)  ε t( n )
(
(1×n )
)
czyli:
( )
(
)
(
(
)
)
 var ε t(1)
cov ε t(1) , ε t( 2 )  cov ε t(1) , ε t( n ) 


(1)
( 2)
 cov ε t( 2 ) , ε t( n ) 
var ε t( 2 )
cov ε t , ε t
V (ε t ) =
≡Σ






( n×n )


(1)
(n)
cov ε t( 2 ) , ε t( n ) 
var ε t( n ) 


cov ε t , ε t…
… w tak zdefiniowanym modelu jednorówaniowym kluczowe
~
znaczenie ma pytanie: jaka jest postać macierzy kowariancji ε ? Innymi słowy, jak
struktura układu n równań z niediagonalną macierzą równoczesnych kowariancji Σ
przekłada się na strukturę macierzy kowariancji złożonego długiego wektora
składników losowych w przekształconym modelu jednorównaniowym? Jej ustalenie
sprowadziłoby taki model do znanej nam postaci…
… to z konstrukcji wektora ε ; w nim wektory (T × 1) składników losowych
(i)
~
każdego z n równań ε ułożone są jeden pod drugim. Macierz V ε ma wymiary nT
()
× nT. Jej pierwszy blok o wymiarach T × T to macierz kowariancji ε(1). Pod nim
będzie kolejny blok T × T zawierający kowariancje między wektorem ε(1)a ε(2) itd. W
~
ten sposób macierz V ε będzie się składać z n2 bloków o wymiarach T × T, przy
()
czym i,j…
…. iloczyn Kroneckera (ozn. ⊗)– omówiony dokładniej w innym miejscu,
~
posiadający wiele przydatnych własności. Oznaczmy macierz kowariancji ε przez
Ω; wtedy:
~
V (ε ) = Ω = Σ ⊗ I .
( nT ×nT )
( n× n )
(T ×T )
Zauważmy, że nie wyprowadzamy tu przed macierz Ω czynnika skalującego σ2 –
byłby on nieidendyfikowalny; macierz Ω zawiera tylko elementy Σ lub zera (nie ma w
niej np. jedynek) ; ponieważ elementy Σ…
…. przeprowadzić iterowany estymator Zellnera, uzyskując oceny β oraz Σ
Komentarz:
Uwaga: w przykładzie T = 20, n = 5
Zaczynamy od przyjęcia za S macierzy jednostkowej, robimy S-1 i
ˆ
konstruujemy macierz Ω -1 = S-1 ⊗ I (to najciekawsza robota, bo ma 10000
ˆˆ
elementów), potem wykorzystując ją robimy β Ω . Nie mamy tylko co wstawić za S
ˆˆ
(bo jest tam na razie macierz jednostkowa). Odwołując się do parametrów β Ω (które
obecnie są ocenami zwykłe MNK, bo S = I) robimy reszty, ustawiamy je w macierz E
jak opisano powyżej i tworzymy S = 1/T E’E. Uzyskane wartości „wklejamy
specjalnie->wartości” za macierz jednostkową w miejscu S. Teraz trzeba tylko dostać
ˆˆ
ˆ ˆˆ
Vas (β Ω ), ale to po prostu kawałek formuły na β Ω który trzeba wyciąć i wkleić w
innym miejscu i tyle.
Dla iteracji estymatora Zellnera należy…
… i skierować go do pliku matrix.xla.
W nowszym OFFICE (2007) trzeba wejść w banieczkę w lewym górnym rogu i
kliknąć w „opcje programu Excel”, „Dodatki” i „zarządzać dodatkami” i robimy
podobnie.
Matrix ma tak, że czasem nie działa – wtedy trzeba wejść jak wyżej, odznaczyć
„ptaszek” w oknie z dodatkami, zamknąć je OK – potem wejść jeszcze raz i
„zaptaszkować” ponownie.
To daje krótsze nazwy funkcji do mnożenia
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz