To tylko jedna z 9 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Łączna estymacja modelu SURE: estymator Zellnera 1. Notacja, cz. 1 W analizie modelu typu SURE bardzo ważne jest dokładne rozumienie notacji. Dużo tu osiągamy dzięki manipulowaniu zapisem, dlatego zostanie on dość dokładnie wyjaśniony. Ale trzeba bardzo uważać, co który symbol oznacza, bo będziemy sobie dorzucać indeksy z góry i dołu; proszę więc pilnie baczyć co jest co i jaki ma wymiar. Rozważmy liniowy model wielorównaniowy złożony z n osobnych równań regresji. Każde równanie ma postać podobną jak w KMRL, czyli: ( ) ( )( ) ( )1 1 1 × × × × + = T k k T T X y ε β W takim układzie równań każde równanie ma swoiste zmienne objaśniane, swoiste zmienne objaśniające i swoiste parametry. Zakładamy dla uproszczenia, że w każdym równaniu jest tyle samo ( T ) obserwacji. Dla wszystkich T obserwacji można taki układ zapisać jako: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( . . 2 2 1 1 × × × × × × × × × × × × + = + = + = T n k n k T n T n T k k T T T k k T T n n X y X y X y ε β ε β ε β gdzie górny indeks w nawiasie ( i ) odpowiada numerowi równania (tylko w przypadku macierzy X indeks jest na dole i bez nawiasu – bo przy dużym X nie stosowaliśmy dotąd dolnego indeksu i nie ma się z czym pomylić). W i -tym równaniu jest k i zmiennych objaśniających i k i parametrów. Powyżej układ ten jest zapisany dla wszystkich n równań i T obserwacji łącznie. Dla obserwacji o numerze t taki układ ma postać: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( . . 2 2 1 1 n t k n k n t n t t k k t t t k k t t n n x y x y x y ε β ε β ε β + = + = + = × × × × × × t = 1,..., T. Tutaj )( i t x oznacza t -ty wiersz macierzy Xi. Gdyby w powyższym zapisie zebrać równoczesne (odpowiadające temu samemu numerowi obserwacji, czyli temu samemu t ) wartości y oraz ε (czyli powyżej występujące jeden pod drugim
(…)
… zwykłej MNK stosowanej osobno dla każdego równania
(lub łącznie dla dużego układu „z falą”). Jeden przypadek jest intuicyjnie oczywisty:
gdy Σ jest macierzą diagonalną, równoczesne kowariancje składników losowych
różnych równań są zerowe, więc nie występuje efekt SURE – między równaniami nie
ma wtedy żadnego związku.
Drugi przypadek jest nieco mniej oczywisty – ma on miejsce wtedy, gdy zmienne…
… dla tej samej obserwacji, musimy rozważyć macierz
kowariancji wektora równoczesnych składników losowych:
ε t = ε t(1) ε t( 2) ε t( n )
(
(1×n )
)
czyli:
( )
(
)
(
(
)
)
var ε t(1)
cov ε t(1) , ε t( 2 ) cov ε t(1) , ε t( n )
(1)
( 2)
cov ε t( 2 ) , ε t( n )
var ε t( 2 )
cov ε t , ε t
V (ε t ) =
≡Σ
( n×n )
(1)
(n)
cov ε t( 2 ) , ε t( n )
var ε t( n )
cov ε t , ε t…
… w tak zdefiniowanym modelu jednorówaniowym kluczowe
~
znaczenie ma pytanie: jaka jest postać macierzy kowariancji ε ? Innymi słowy, jak
struktura układu n równań z niediagonalną macierzą równoczesnych kowariancji Σ
przekłada się na strukturę macierzy kowariancji złożonego długiego wektora
składników losowych w przekształconym modelu jednorównaniowym? Jej ustalenie
sprowadziłoby taki model do znanej nam postaci…
… to z konstrukcji wektora ε ; w nim wektory (T × 1) składników losowych
(i)
~
każdego z n równań ε ułożone są jeden pod drugim. Macierz V ε ma wymiary nT
()
× nT. Jej pierwszy blok o wymiarach T × T to macierz kowariancji ε(1). Pod nim
będzie kolejny blok T × T zawierający kowariancje między wektorem ε(1)a ε(2) itd. W
~
ten sposób macierz V ε będzie się składać z n2 bloków o wymiarach T × T, przy
()
czym i,j…
…. iloczyn Kroneckera (ozn. ⊗)– omówiony dokładniej w innym miejscu,
~
posiadający wiele przydatnych własności. Oznaczmy macierz kowariancji ε przez
Ω; wtedy:
~
V (ε ) = Ω = Σ ⊗ I .
( nT ×nT )
( n× n )
(T ×T )
Zauważmy, że nie wyprowadzamy tu przed macierz Ω czynnika skalującego σ2 –
byłby on nieidendyfikowalny; macierz Ω zawiera tylko elementy Σ lub zera (nie ma w
niej np. jedynek) ; ponieważ elementy Σ…
…. przeprowadzić iterowany estymator Zellnera, uzyskując oceny β oraz Σ
Komentarz:
Uwaga: w przykładzie T = 20, n = 5
Zaczynamy od przyjęcia za S macierzy jednostkowej, robimy S-1 i
ˆ
konstruujemy macierz Ω -1 = S-1 ⊗ I (to najciekawsza robota, bo ma 10000
ˆˆ
elementów), potem wykorzystując ją robimy β Ω . Nie mamy tylko co wstawić za S
ˆˆ
(bo jest tam na razie macierz jednostkowa). Odwołując się do parametrów β Ω (które
obecnie są ocenami zwykłe MNK, bo S = I) robimy reszty, ustawiamy je w macierz E
jak opisano powyżej i tworzymy S = 1/T E’E. Uzyskane wartości „wklejamy
specjalnie->wartości” za macierz jednostkową w miejscu S. Teraz trzeba tylko dostać
ˆˆ
ˆ ˆˆ
Vas (β Ω ), ale to po prostu kawałek formuły na β Ω który trzeba wyciąć i wkleić w
innym miejscu i tyle.
Dla iteracji estymatora Zellnera należy…
… i skierować go do pliku matrix.xla.
W nowszym OFFICE (2007) trzeba wejść w banieczkę w lewym górnym rogu i
kliknąć w „opcje programu Excel”, „Dodatki” i „zarządzać dodatkami” i robimy
podobnie.
Matrix ma tak, że czasem nie działa – wtedy trzeba wejść jak wyżej, odznaczyć
„ptaszek” w oknie z dodatkami, zamknąć je OK – potem wejść jeszcze raz i
„zaptaszkować” ponownie.
To daje krótsze nazwy funkcji do mnożenia…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)