To tylko jedna z 8 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Parametry zmiennej losowej
KaŜda zmienna losowa jest w pełni opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa (funkcję gęstości
prawdopodobieństwa lub dystrybuantę).
Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia pewnych charakterystyk liczbowych rozkładu
zmiennych losowych ( nie dających pełnego opisu zmiennej losowej! ).
Wartość przeciętna, wartość oczekiwana, wartość średnia, nadzieja matematyczna
zmiennej losowej X
Oznaczamy symbolem: E( X ) , EX , m , µ .
Jeśli X jest zmienną losową typu skokowego:
χ = {x1 , x2 ,..., xn ,...} przy czym
∑| x
p( xk ) = P( X = xk ) i szereg
| p ( xk ) ,
k
E ( X ) = ∑ xk P ( xk )
jest zbieŜny, to:
k
k
gdzie sumowanie względem k jest rozciągnięte na wszystkie wartości k , dla których
Jeśli X jest zmienną losową typu ciągłego o gęstości f( ) i zbieŜna jest całka:
xk ∈ χ .
∫ | x | f ( x)dx , to:
ℜ1
∞
∫ xf ( x)dx
E( X ) =
−∞
Jeśli F(x) – dystrybuanta zmiennej losowej X , to
E( X ) =
oczekiwaną jako:
dF ( x ) = f ( x )dx , czyli moŜna określić wartość
∞
∫ xdF ( x)dx
−∞
Interpretacja:
Wartość przeciętna jest parametrem wskazującym jaki punkt jest punktem „środkowym”
rozkładu, punktem wokół, którego grupują się wartości zmiennej losowej.
Własności wartości oczekiwanej
Twierdzenie 1
Wartość oczekiwana iloczynu zmiennej losowej i stałej jest równa iloczynowi wartości oczekiwanej
tej zmiennej losowej i tej stałej:
E ( aX ) = a ⋅ E ( X ) gdzie a = const
Dowód:
Dla zmiennej losowej skokowej przyjmującej n wartości xk z prawdopodobieństwem
P( X = xk ), k = 1, 2,..., n. Iloczyn zmiennej losowej X oraz stałej a jest nową zmienną losową skokową
Y = aX. Zmienna losowa Y przyjmuje n wartości: yk = axk, k=1, 2,..., n. PoniewaŜ zmienna losowa Y
przyjmuje wartości yk wtedy i tylko wtedy gdy zmienna losowa X przyjmuje wartość xk, więc:
P(Y = yk ) = P( X = xk ) dla k = 1,2,..., n . Wobec powyŜszego:
n
n
k =1
k =1
E (aX ) = EY = ∑ yk P(Y = yk ) = ∑ a ⋅ xk P( X = xk ) = a ⋅ E ( X )
Twierdzenie 2
Wartość oczekiwana stałej jest równa tej stałej:
E (a ) = a , gdzie: a = const.
Twierdzenie 3
Wartość oczekiwana sumy zmiennych losowych X i Y jest równa sumie wartości oczekiwanych tych
zmiennych losowych:
E ( X + Y ) = EX + EY
Wniosek 1:
Wartość oczekiwana kombinacji liniowej dowolnej skończonej liczby zmiennych losowych
jest równa kombinacji liniowej wartości oczekiwanych tych zmiennych losowych:
E (a1 X 1 + a2 X 2 + ... + ak X k ) = a1EX 1 + a2 EX 2 + ... + ak EX k
Wniosek 2:
Niech zmienne losowe X1, X2, ... , Xk mają jednakowe wartości oczekiwane równe C, czyli:
EX 1 = EX 2 = ... = EX k = C , to wartość oczekiwana średniej arytmetycznej tych zmiennych losowych
wynosi równieŜ C:
X + X 2 + ... + X k
E 1
k
=C
Twierdzenie 4
Wartość oczekiwana iloczynu niezaleŜnych zmiennych losowych jest równa iloczynowi ich wartości
oczekiwanych:
E ( X ⋅ Y ) = EX ⋅ EY
Twierdzenie 5
Wartość oczekiwana modułu zmiennej losowej jest nie mniejsza niŜ moduł wartości oczekiwanej tej
zmiennej losowej:
E | X |
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)