To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Przykład 3.7. Naprężenia styczne przy zginaniu belki cienkościennej.
Wyznacz rozkład naprężenia stycznego w przekroju podporowym belki wspornikowej
o przekroju cienkościennym obciążonej na swobodnym końcu pionową siłą P. Siła ustawiona
jest w środku sił poprzecznych.
Wyznacz położenie środka sił poprzecznych.
Wymiary przekroju poprzecznego belki podane są na rysunku zamieszczonym
poniżej.
Oblicz naprężenia przyjmując następujące wartości liczbowe:
P=20kN, a=4cm, δ=3mm
Przekrój poprzeczny
P
δ
4a
δ
2a
Rozwiązanie
Wyznaczymy rozkład naprężenia stycznego τ ze wzoru:
τ ( s) = −
T y ⋅ S zs ( s )
δ ( s) ⋅ I z
−
s
Tz ⋅ S y ( s )
δ ( s) ⋅ I y
, gdzie:
δ
Ty
s- współrzędna łukowa o początku na brzegu przekroju,
s
Ty – siła tnąca skierowana wzdłuż osi y,
Tz – siła tnąca skierowana wzdłuż osi z,
S zs - moment statyczny względem osi centralnej z odciętej części przekroju,
s
S y - moment statyczny względem osi centralnej y odciętej części przekroju,
Tz
z
y
δ(s)- szerokość przekroju,
Iz- moment bezwładności przekroju względem osi głównej centralnej z,
Iy- moment bezwładności przekroju względem osi głównej centralnej y.
W omawianym zadaniu składowa pozioma siły tnącej równa jest zeru. Zatem wyrażenie na
naprężenie styczne upraszcza się do postaci:
τ ( s) = −
T y ⋅ S zs ( s )
δ ( s) ⋅ I z
Obliczmy poszczególne składniki powyższego wzoru.
Z treści zadania wynika, że siła tnąca Ty jest stała i wynosi P.
Obliczmy moment statyczny Iz
δ
Do wyznaczenia momentu bezwładności
Iz wystarczy ustalenie położenia poziomej
osi głównej centralnej. Ponieważ przekrój
poprzeczny ma poziomą oś symetrii oś ta
jest także osią główną centralną.
Moment bezwładności względem osi z
obliczymy wykorzystując wzór Steinera.
Wyrażenia, w których występuje mała
wyższego rzędu δ 3 będziemy pomijać.
2a
c
z
2a
y
2a
( 4a ) 3 ⋅ δ
64 3
Iz =
+ 2 ⋅ ( 2a ) 2 ⋅ 2aδ =
aδ
12
3
Wyznaczmy naprężenie styczne w dolnej półce przekroju dla s ∈ (0,2a )
δ
2a
Obliczmy moment statyczny odciętej części przekroju
S zs = y ( s ) ⋅ F ( s )
y (s ) - oznacza współrzędną środka ciężkości odciętej
części przekroju
F (s ) pole powierzchni odciętej części przekroju
z
2a
y
Dla s ∈ (0,2a )
s
S zs = y ( s ) ⋅ F ( s ) = 2a ⋅ sδ
Podstawiając do wzoru na naprężenie styczne obliczoną funkcję momentu statycznego
otrzymamy:
2
T y ⋅ S zs ( s )
6P ⋅ s
P ⋅ 2asδ
=−
64 3
δ ( s) ⋅ I z
64a 2δ
δ
aδ
3
Znak minus oznacza , że zwrot naprężenia stycznego jest przeciwny do kierunku wzrostu
współrzędnej łukowej s.
τ ( s) = −
=−
Wyznaczmy naprężenie styczne w ściance środnika dla s ∈ (2a,6a)
δ
2a
Obliczmy moment statyczny odciętej części przekroju
dla s ∈ (2a,6a ) S zs = y ( s ) ⋅ F ( s )
z
2a-1/2 (s-2a)
s
1
S zs = y ( s ) ⋅ F ( s ) = 4a 2δ + 2a − ( s − 2a ) ⋅ ( s − 2a )δ
2
2a
y
1
S zs = − s 2 + 4 sa − 2a 2 δ
2
Podstawiając do wzoru na naprężenie styczne obliczoną funkcję momentu statycznego
otrzymamy:
1
1
3P ⋅ − s 2 + 4 sa − 2a 2
P ⋅ − s 2 + 4 sa − 2a 2 δ
T ⋅ S ( s)
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)