Momenty wektora względem punktu

Nasza ocena:

5
Pobrań: 98
Wyświetleń: 1232
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Momenty wektora względem punktu - strona 1 Momenty wektora względem punktu - strona 2 Momenty wektora względem punktu - strona 3

Fragment notatki:


2.4. Moment wektora względem punktu       Momentem wektora    a    względem punktu  (bieguna) O nazywamy iloczyn  wektorowy wektora  r A =  OA  o początku w punkcie O i końcu w początku wektora  a   przez wektor  a  (rys. 2.10). Moment wektora względem punktu będziemy  oznaczać w następujący sposób:    ( ) . A O a r a M × =                  (2.35)      Z podanej definicji wynika, że moment wektora względem punktu ma  własności wynikające z omówionego w p. 2.3.2 iloczynu wektorowego. Zatem  wektor   M O( a ) jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny określonej przez  wektory  r A i  a  i ma zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej. Albo inaczej, jego  zwrot jego jest taki, że dla obserwatora patrzącego z końca wektora momentu  wektor   a  wywołuje obrót wokół bieguna O w kierunku przeciwnym do ruchu  wskazówek zegara.  Moment wektora względem punktu jest równy zeru, gdy wektor  a  = 0 lub wektory  r A i  a  są równoległe, albo linia działania wektora  a  przechodzi przez punkt O.    Obecnie zastanówmy się, jak zmieni się moment wektora względem punktu,  gdy wektor  a  przesuniemy wzdłuż linii jego działania. W tym celu obliczmy  moment wektora   przyłożonego w punkcie  ′ a ′ A , różniącego się od wektora  a   tylko punktem przyłożenia, względem punktu O (rys. 2.10). Z definicji momentu  wektora względem punktu mamy:    ( ) . A O a r a M ′ × = ′ ′     Na podstawie rys. 2.10 możemy napisać:    r r AA ′ = + ′ A A .    Po podstawieniu tej zależności do wzoru na moment wektora względem punktu  otrzymamy:    ( ) ( ) M a r AA a r a AA a O A A ′ = + ′ × ′ = × + ′× ′.    Ponieważ  ′ = a a  , a iloczyn wektorowy dwóch wektorów leżących na jednej  prostej jest równy zeru:    AA a ′× = 0 ,  otrzymujemy:  ( ) ( ) M a r a M a O A O ′ = × = .      Z otrzymanej zależności wynika, że moment wektora  a  względem punktu O nie  ulegnie zmianie, gdy wektor przesuniemy wzdłuż linii jego działania, czyli jest on  wektorem przesuwnym. Wartość momentu  M O( a ) będzie zależała od położenia  linii działania wektora, jego modułu oraz punktu, względem którego liczymy  moment.   Odległość punktu O od linii działania wektora  a , oznaczonej na rys. 2.10 przez  h, będziemy nazywać ramieniem wektora.   Gdy  wektor  a  przesuniemy do punktu  A ′  (rys. 2.10), to moment tego wektora:    ( ) . O a A O a M × ′ =     Z tego wzoru wynika, że moduł momentu jest równy iloczynowi modułu wektora  ... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz