To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
4.4. Momenty statyczne mas
Załóżmy, że mamy układ n punktów materialnych o masach mk, których
położenie względem dowolnego punktu O określają promienie wodzące rk (rys.
4.1). Rozkład mas tego układu materialnego względem przyjętego punktu O
charakteryzują momenty pierwszego rzędu, nazywane momentami statycznymi.
Momentem statycznym S układu punktów materialnych względem dowolnego
punktu O nazywamy sumę iloczynów mas mk przez ich promienie wodzące rk.
S=
n
∑r
k
mk .
(4.18)
k =1
Tak zdefiniowany moment statyczny jest wektorem. Po podstawieniu do tego
wzoru wektora rk zapisanego za pomocą współrzędnych prostokątnych:
rk = x k i + y k j+ z k k
wektor S wyrazi wzór:
S=
n
∑
k =1
x k mk i+
n
∑
y k m k j+
k =1
n
∑z
k mk
k.
(4.19)
k =1
Współrzędne tego wektora nazywamy momentami statycznymi względem
płaszczyzn yz, zx i xy, które oznaczymy odpowiednio przez S yz , S zx i S xy .
S yz =
n
∑
k =1
x k m k , S zx =
n
∑
k =1
y k m k , S xy =
n
∑z
k mk
.
(4.20)
k =1
Momentem statycznym układu punktów materialnych względem dowolnej
płaszczyzny nazywamy sumę iloczynów mas punktów przez ich odległości od tej
płaszczyzny.
Aby otrzymać moment statyczny bryły względem punktu, dzielimy bryłę
na n elementów o masach mk (rys. 4.2). Jeżeli założymy, że liczba elementów n
dąży do nieskończoności, a ich masa do zera, zamiast wzoru (4.18) otrzymamy
całkę rozciągniętą na całą masę m. Moment statyczny bryły względem początku
układu O wyraża wzór:
S = lim
n→∞
n
∑r
k
∫
∆m k = r dm .
k =1
(4.21)
m
Z kolei momenty statyczne bryły względem poszczególnych płaszczyzn
prostokątnego układu współrzędnych będą dane wzorami:
∫
∫
∫
S yz = xdm, S zx = ydm, S xy = zdm .
m
m
(4.22)
m
Z porównania wzoru (4.21) ze wzorem (4.7) na promień wodzący rC środka
masy (ciężkości) oraz wzorów (4.22) ze wzorami (4.8) na współrzędne środka
masy wynika, że całki występujące w licznikach wzorów (4.7) i (4.8) są
momentami statycznymi. W pierwszym przypadku jest to moment statyczny
względem początku układu współrzędnych O, a w drugim są to momenty statyczne
względem płaszczyzn yz, zx i xy. Zatem wzory (4.7) i (4.8) na promień wodzący
rC środka masy C i jego współrzędne xC, yC, zC możemy wyrazić za pomocą
momentów statycznych:
S
,
m
S yz
S xy
S
xC =
, y C = zx , z C =
.
m
m
m
rC =
(4.23)
(4.24)
Znając położenie środka masy C bryły lub układu materialnego, odpowiednie
momenty statyczne możemy wyznaczyć z powyższych wzorów. Otrzymamy
wtedy:
S = rC m ,
S yz = x C m, S zx = y C m, S xy = z C m .
(4.25)
(4.26)
Wzory (4.25) i (4.26) zostały wyprowadzone dla bryły, jednak do
analogicznych wzorów dojdziemy, prowadząc podobne rozważania dla układu
punktów materialnych. Stąd wynikające z tych wzorów wnioski będą dotyczyły
również momentów statycznych układu punktów materialnych. Oto one:
a) Moment statyczny bryły lub układu punktów materialnych względem
dowolnego punktu jest równy momentowi statycznemu masy całkowitej skupionej
w środku masy (ciężkości)
(…)
… .
F
xC
(4.27)
x
Rys. 4.8. Wyznaczanie położenia
środka
F
Po takich oznaczeniach wzory (4.14) na współrzędne środka ciężkości figury
płaskiej można zapisać w następujący sposób:
xC =
Sy
F
, yC =
Sx
.
F
(4.28)
Stąd gdy znamy współrzędne środka ciężkości, możemy wyznaczyć momenty
statyczne:
S x = y C F, S y = x C F ,
gdzie F jest polem całkowitym powierzchni figury płaskiej
(4.29)
…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)