To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
4.4. Momenty statyczne mas Załóżmy, że mamy układ n punktów materialnych o masach mk, których położenie względem dowolnego punktu O określają promienie wodzące r k (rys. 4.1). Rozkład mas tego układu materialnego względem przyjętego punktu O charakteryzują momenty pierwszego rzędu, nazywane momentami statycznymi . Momentem statycznym S układu punktów materialnych względem dowolnego punktu O nazywamy sumę iloczynów mas mk przez ich promienie wodzące r k. S r = = ∑ k k k n m 1 . (4.18) Tak zdefiniowany moment statyczny jest wektorem. Po podstawieniu do tego wzoru wektora r k zapisanego za pomocą współrzędnych prostokątnych: r i j k k k k x y z k = + + wektor S wyrazi wzór: S i j = + + = = = ∑ ∑ ∑ x m y m z m k k k n k k k n k k k n 1 1 1 k m =1 . (4.19) Współrzędne tego wektora nazywamy momentami statycznymi względem płaszczyzn yz, zx i xy, które oznaczymy odpowiednio przez S S i S yz zx xy , . S x m S y m S z yz k k k n zx k k k n xy k k k n = = = = = ∑ ∑ ∑ 1 1 , , . (4.20) Momentem statycznym układu punktów materialnych względem dowolnej płaszczyzny nazywamy sumę iloczynów mas punktów przez ich odległości od tej płaszczyzny . Aby otrzymać moment statyczny bryły względem punktu, dzielimy bryłę na n elementów o masach mk (rys. 4.2). Jeżeli założymy, że liczba elementów n dąży do nieskończoności, a ich masa do zera, zamiast wzoru (4.18) otrzymamy całkę rozciągniętą na całą masę m. Moment statyczny bryły względem początku układu O wyraża wzór: S r r = = →∞ = ∑ ∫ lim n k k k n m m d ∆ 1 m ∫ . (4.21) Z kolei momenty statyczne bryły względem poszczególnych płaszczyzn prostokątnego układu współrzędnych będą dane wzorami: S xdm S ydm S zdm yz m zx m xy m = = = ∫ ∫ , , . (4.22) Z porównania wzoru (4.21) ze wzorem (4.7) na promień wodzący r C środka masy (ciężkości) oraz wzorów (4.22) ze wzorami (4.8) na współrzędne środka masy wynika, że całki występujące w licznikach wzorów (4.7) i (4.8) są momentami statycznymi. W pierwszym przypadku jest to moment statyczny względem początku układu współrzędnych O, a w drugim są to momenty statyczne względem płaszczyzn yz, zx i xy. Zatem wzory (4.7) i (4.8) na promień wodzący
(…)
… .
F
xC
(4.27)
x
Rys. 4.8. Wyznaczanie położenia
środka
F
Po takich oznaczeniach wzory (4.14) na współrzędne środka ciężkości figury
płaskiej można zapisać w następujący sposób:
xC =
Sy
F
, yC =
Sx
.
F
(4.28)
Stąd gdy znamy współrzędne środka ciężkości, możemy wyznaczyć momenty
statyczne:
S x = y C F, S y = x C F ,
gdzie F jest polem całkowitym powierzchni figury płaskiej
(4.29)
…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)