Momenty statyczne mas

Nasza ocena:

5
Pobrań: 49
Wyświetleń: 882
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Momenty statyczne mas - strona 1 Momenty statyczne mas - strona 2 Momenty statyczne mas - strona 3

Fragment notatki:


4.4. Momenty statyczne mas     Załóżmy,  że mamy układ n punktów materialnych o masach mk, których  położenie względem dowolnego punktu O określają promienie wodzące   r k (rys.  4.1). Rozkład mas tego układu materialnego względem przyjętego punktu O  charakteryzują momenty pierwszego rzędu, nazywane  momentami statycznymi .       Momentem statycznym    S    układu punktów materialnych względem dowolnego   punktu  O  nazywamy sumę iloczynów mas  mk  przez ich promienie wodzące   r k.    S r = = ∑ k k k n m 1 .                   (4.18)    Tak zdefiniowany moment statyczny jest wektorem. Po podstawieniu do tego  wzoru wektora  r k zapisanego za pomocą współrzędnych prostokątnych:    r i j k k k k x y z  k = + +     wektor  S  wyrazi wzór:    S i j = + + = = = ∑ ∑ ∑ x m y m z m k k k n k k k n k k k n 1 1 1 k m =1 .       (4.19)    Współrzędne tego wektora nazywamy  momentami statycznymi względem  płaszczyzn  yz, zx i xy, które oznaczymy odpowiednio przez    S S i S yz zx xy , .   S x m S y m S z yz k k k n zx k k k n xy k k k n = = = = = ∑ ∑ ∑ 1 1 , , .     (4.20)       Momentem statycznym układu punktów materialnych względem dowolnej  płaszczyzny nazywamy sumę iloczynów mas punktów przez ich odległości od tej  płaszczyzny .                        Aby otrzymać moment statyczny bryły względem punktu, dzielimy bryłę  na n elementów o masach  mk (rys. 4.2). Jeżeli założymy, że liczba elementów n  dąży do nieskończoności, a ich masa do zera, zamiast wzoru (4.18) otrzymamy  całkę rozciągniętą na całą masę m. Moment statyczny bryły względem początku  układu O wyraża wzór:      S r r = = →∞ = ∑ ∫ lim n k k k n m m d ∆ 1 m ∫ .             (4.21)      Z kolei momenty statyczne bryły względem poszczególnych płaszczyzn  prostokątnego układu współrzędnych będą dane wzorami:    S xdm S ydm S zdm yz m zx m xy m = = = ∫ ∫ , , .       (4.22)      Z porównania wzoru (4.21) ze wzorem (4.7) na promień wodzący   r C  środka  masy (ciężkości) oraz wzorów (4.22) ze wzorami (4.8) na współrzędne  środka  masy wynika, że całki występujące w licznikach wzorów (4.7) i (4.8) są  momentami statycznymi. W pierwszym przypadku jest to moment statyczny  względem początku układu współrzędnych O, a w drugim są to momenty statyczne  względem płaszczyzn yz, zx i xy. Zatem wzory (4.7) i (4.8) na promień wodzący 

(…)

… .
F
xC
(4.27)
x
Rys. 4.8. Wyznaczanie położenia
środka
F
Po takich oznaczeniach wzory (4.14) na współrzędne środka ciężkości figury
płaskiej można zapisać w następujący sposób:
xC =
Sy
F
, yC =
Sx
.
F
(4.28)
Stąd gdy znamy współrzędne środka ciężkości, możemy wyznaczyć momenty
statyczne:
S x = y C F, S y = x C F ,
gdzie F jest polem całkowitym powierzchni figury płaskiej
(4.29)

... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz