To tylko jedna z 19 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
1 OBLICZANIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH, TWIERDZENIE STEINERA – LABORATORIUM RACHUNKOWE Przy obliczeniach wytrzymałościowych dotyczących niektórych przypadków obciążenia (np. zginanie) potrzebna jest znajomość pewnych wielkości geometrycznych charakteryzujących przekroje poprzeczne prętów. Wielkościami tymi są momenty bezwładności względem osi, moment względem układu osi, nazywany również momentem dewiacji lub odśrodkowym oraz momenty biegunowe. Moment bezwładności Ax figury płaskiej względem osi x nazywamy sumę iloczynów elementarnych pól d A tego pola przez kwadrat odległości tych pól od osi x (rys.1). Momenty bezwładności: - osiowe momenty bezwładności Jx, Jy (względem prostej lub osi). - biegunowy moment bezwładności JO (moment bezwładności względem ustalonego punktu O, zwanego często biegunem), - dewiacyjny moment bezwładności Jxy (zboczeniowy moment lub odśrodkowy) – moment bezwładności względem układu osi. Rys.1. Oznaczenie elementarnego pola d A . Jednostką wymiarową momentów bezwładności jest m 4. Momenty osiowe oraz moment biegunowy są zawsze dodatnie, natomiast moment dewiacyjny może być dodatni lub ujemny lub równy zero. 2 Definicja momentów bezwładności : 1. Osiowe momenty bezwładności dA y J A x ∫ = 2 dA x J A y ∫ = 2 2. Biegunowy moment bezwładności Moment bezwładności biegunowy figury płaskiej względem początku układu prostokątnego równa się sumie momentów bezwładności względem dwu osi układu leżącego w płaszczyźnie figury. x y A A A A J J dA y dA x dA y x dA J + = + = + = = ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 0 ) ( ρ 3. Moment dewiacyjny (zboczenia, odśrodkowy) dA xy J A xy ∫ = Momenty bezwładności względem osi równoległych. Twierdzenie Steinera Przesuńmy prostokątny układ współrzędnych w stosunku do pierwotnie przyjętego Oxy o składowe przesunięcia a , b . Znając dla pierwotnego układu osi momenty bezwładności Jx, Jy i moment dewiacyjny Jxy – wyznacza się dla nowego układu momenty Jxc, Jyc i Jxcyc. Rys.2. Oznaczenie do wzoru Steinera. W przypadku gdy początek układu xy pokrywa się ze środkiem ciężkości figury,
(…)
… oraz dewiacyjnego momentu
bezwładności Jxy.
5
Literatura:
[1] Dyląg Zdzisław, Jakubowicz Antoni, Orłoś Zbigniew, Wytrzymałość materiałów.
Tom I, WNT, 2007.
[2] Niezgodziński Michał E., Niezgodziński Tadeusz Wytrzymałość materiałów,
Wydawnictwo Naukowe PWN, 2010.
[3] Ostwald Marian, Podstawy mechaniki, Politechnika Poznańska; e-skrypty:
www.sms.am.put.poznan.pl/eskrypty_pliki/podstawymechaniki/9momentybezwladnos
cifigurplaskich.pdf
6
7
Charakterystyki geometryczne figur płaskich
Uwagi ogólne:
Oś symetrii jest główną centralną osią bezwładności. Jeśli przekrój posiada jedną oś symetrii,
to druga oś główna centralna jest do niej prostopadła i przechodzi przez środek cię kości.
Jeśli przekrój posiada więcej ni 2 osie symetrii (trójkąt równoboczny, kwadrat, koło itp.) to
ka da oś centralna jest główna. Biegunowy moment…
… − πr 2 ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ ≅ 0.10976r 4
4
⎝ 3π ⎠ ⎥
⎢16
⎣
⎦
I xc yc = I xy = 0
5. Kwadrat
yc
yc
xc
C
xc
C
a
a
1 4
a
12
=0
I xc = I y c =
I xc y c
W przypadku kwadratu momenty bezwładności i moment dewiacyjny w dowolnym
układzie osi centralnych przyjmują podane powyżej wartości.
Przykład I
Wyznaczyć momenty bezwładności i moment dewiacyjny dla poniższego trójkąta
równoramiennego w układzie Oxy.
y
a
~ = 2a
yc
C…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)