4. Metody estymacji W zadaniach 14 zakªadamy, »e dysponujemy prób¡ prost¡ X1, . . . , Xn. 1. Znale¹¢ estymatory parametrów dla rozkªadów (a) Poissona P(λ), (b) jednostajnego dyskretnego na {1, . . . , N}, (c) geometrycznego G(p) o rozkªadzie Pp(X = x) = (1 − p)px, x = 0, 1, . . . , 0 µ, µ ∈ R, σ 0, stosuj¡c metod¦ momentów. 3. Znale¹¢ estymatory parametrów dla rozkªadów (a) jednostajnego U(0, θ), (b) podwójnie wykªadniczego DE(µ, σ) o g¦sto±ci fµ,σ(x) = 1 σ exp − exp − x − µ σ − x − µ σ , µ ∈ R, σ 0, (c) pot¦gowego Po(λ, α) o g¦sto±ci fλ,α(x) = αxα−1 λα , 0 0, (d) Cauchy'ego C(µ, σ) o g¦sto±ci fµ,σ(x) = 1 π σ σ2 + (x − µ)2 , µ ∈ R, σ 0, 1 stosuj¡c metod¦ kwantyli. 4. Znale¹¢ estymatory parametrów dla rozkªadów (a) geometrycznego G(p) (b) dwumianowego B(m, p), (c) wykªadniczego E(µ, σ), (d) o g¦sto±ci fα(x) = −αx−2, x 0, stosuj¡c metod¦ najwi¦kszej wiarogodno±ci. 5. Niech X1, . . . , Xn b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadach normalnych z jednakow¡ nieznan¡ warto±ci¡ oczekiwan¡ µ i znanymi wariancjami równymi odpowiednio σ2 1 , . . . , σ 2 n. Wyznaczy¢ estymator NW parametru µ oraz obliczy¢ jego warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦. 6. Niech X = (X1, . . . , Xm) i Y = (Y1, . . . , Yn) b¦d¡ dwiema niezale»nymi próbami z rozkªadów odpowiednio N (µ1, σ2) i N (µ2, σ2). Pokaza¢, »e ˆ ϑ = ( ¯ X, ¯ Y , ˜ σ2) , gdzie ¯ X = 1 m m i=1 Xi, ¯ Y = 1 n n i=1 Yi, ˜ σ2 = 1 m + n m i=1 (Xi − ¯ X)2 + n i=1 (Yi − ¯ Y )2 jest estymatorem NW parametru ϑ = (µ1, µ2, σ2). 2
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)