Metody aktuarialne-elementy teorii ruiny

Nasza ocena:

3
Pobrań: 63
Wyświetleń: 1680
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Pobierz notatkę
Podgląd dokumentu
Metody aktuarialne-elementy teorii ruiny - strona 1 Metody aktuarialne-elementy teorii ruiny - strona 2 Metody aktuarialne-elementy teorii ruiny - strona 3

Fragment notatki:

Metody aktuarialne  Wykład 8  Elementy teorii ruiny  2012-12-06  2  Model z czasem ciągłym  3  2012-12-06   Proces nadwyżki finansowej ubezpieczyciela jest to  pewna (losowa) funkcja czasu  U ( t ) zdefiniowana w  następujący sposób:     gdzie                    -  nadwyżka początkowa,  c  - suma składki zebranej za jednostkowy okres (np.        rok),                 -  łączna wartość odszkodowań za szkody                      zaistniałe w okresie       ,          -  liczba szkód zaistniałych w czasie      ,        -  wartość odszkodowania za  i -tą szkodę.    4  2012-12-06    0 ), ( ) (     t t Z ct u t U   0 ) 0 (    U u    ) ( 1 ) ( t K i i X t Z   t , 0   t , 0   ) ( t K i X             0  t  T 1  T 2  T 3  T 4  2012-12-06  5  u          X 1  X 2  X 3  X 4    U ( t )    ) ( ) ( t Z ct u t U         ) ( 1 ) ( t K i i X t Z   4 ) (  t K   4 3 2 1 ) ( X X X X t Z      Moment, w którym nastąpi ruina (nadwyżka  spadnie poniżej zera), oznaczany jest przez  T  i  definiowany następująco:     Prawdopodobieństwo ruiny w czasie           definiuje  się następująco:    6  2012-12-06      0 ) ( : inf   t U t T     t , 0     t T P t u   ) , (   Prawdopodobieństwo ruiny w nieskończonym  horyzoncie czasowym, czyli prawdopodobieństwo,  że fundusz nadwyżkowy spadnie poniżej zera  kiedykolwiek w przyszłości, określa się  następująco:    7  2012-12-06            T P t u u t ) , ( lim ) (    Metody wyznaczania prawdopodobieństwa ruiny:   analityczne. Można wyznaczyć prawdopodobieństwo,  gdy:   zmienna opisująca wysokość szkód przyjmuje skończoną  liczbę wartości;   wysokości szkód mają rozkład wykładniczy,   wysokości szkód można opisać sumą lub mieszanką  rozkładów wykładniczych   aproksymacyjne. Np. oszacowanie   Lundberga,   Cramera-Lundberga,   inne.   symulacyjne. Stosuje się, gdy nie można zastosować  metody analitycznej a oszacowania obarczone są  dużym błędem.     8  2012-12-06  Metoda analityczna

(…)

… między

kolejnymi szkodami.
2012-12-06
21
Własności procesu Poissona
1. Wartość oczekiwana:
EK (t )    t
2. Wariancja:
D ( K (t ))  t
2
3. Odchylenie standardowe:
D( K (t ))  t
2012-12-06
22
4. Funkcja tworząca prawdopodobieństwa:
hK (s)  e
t ( s 1)
4. Funkcja tworząca momenty:
M K ( s)  e
2012-12-06
t ( e s 1)
23

Wzór dokładny na prawdopodobieństwo
ruiny:
Jeżeli spełnione są założenia 1 i 2…
… R jest dodatnim
rozwiązaniem równania:
M X (r )    cr
gdzie M X oznacza funkcję tworzącą momenty
rozkładu pojedynczej szkody.
Równanie to jest równoważne z
M X (r )  1  (1   )  E( X )  r
2012-12-06
25

Jeżeli spełnione są założenia 1 i 2 i wysokość
pojedynczej szkody ma rozkład wykładniczy, to
e  Ru
 (u ) 
1
2012-12-06
26
Oszacowania prawdopodobieństwa ruiny

Nierówność Lundberga…
… wykładniczego ma postać:
F (t )  1  et , t  0 ,
zatem:
PW  t  h  e  (t  h )
PW  t  h W  t  
 t  e h  PW  h 
PW  t 
e
2012-12-06
15
Zmienna Tk , czyli czas oczekiwania na k-tą szkodę jest
równy:
Tk  W1  W2  ...  Wk
czyli jest to suma k niezależnych zmiennych losowych o
rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Suma taka ma rozkład gamma o parametrach (k ,  )
W1
0
W2
T1
2012-12…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz