Metody aktuarialne Wykład 3 Modele liczby szkód 2012-10-28 2 Liczbę szkód (roszczeń) w ubezpieczeniach najczęściej modeluje się za pomocą dyskretnej zmiennej losowej K , której rozkład można zapisać następująco: Jest to tzw. rozkład arytmetyczny . 3 2012-10-28 .... 2 , 1 , 0 , k p k K P k Prawdopodobieństwo wystąpienia k szkód. Wystąpiło dokładnie k szkód. Zmienna K najczęściej opisuje: liczbę szkód w określonym portfelu ubezpieczeń pojawiającą się w ustalony przedziale czasu, liczbę szkód przypadającą na jedną polisę w określonym przedziale czasu (np. 1 roku). Zmienna K najczęściej ma rozkład: Poissona, ujemny dwumianowy, geometryczny, dwumianowy. Wszystkie te zmienne należą do tzw. klasy rozkładów ( a , b ,0 ) 4 2012-10-28 Rozkłady klasy ( a,b,0 ) Definicja Niech k p będzie funkcją prawdopodobieństwa rozkładu dyskretnego. Powiemy, że rozkład ten należy do klasy rozkładów typu ( a, b, 0 ), jeżeli istnieją stałe a i b takie, że: ... , 2 , 1 , 1 k k b a p p k k Jest to wzór rekurencyjny z wartością początkową: 1 0 0 p . 2012-10-28 5 Można pokazać, że do tej klasy należą jedynie rozkłady: - Poissona, - dwumianowy, - ujemny dwumianowy, - geometryczny. 2012-10-28 6 Poniższa tabela przedstawia wartości parametrów a i b oraz prawdopodobieństwo początkowe dla tych rozkładów: Parametr Rozkład a b p0 Poissona 0 e Dwumianowy p p 1 p p m 1 ) 1 ( m p ) 1 ( Ujemny dwumianowy q q ) 1 ( q 1 Geometryczny q 0 q 1 2012-10-28 7 Równanie rekurencyjne można zapisać w następującej postaci: ... , 2 , 1 , 1 k b ak p p k k k 2012-10-28 8 Takie przedstawienie równania rekurencyjnego ma praktyczne znaczenie przy wyborze modelu liczby szkód. Wynika to z tego, że: k k k k k k k y n n k n n n n k p p k 1 1 1 ˆ ˆ 2012-10-28 9 Na tej podstawie można oszacować parametry równania regresji
(…)
… n
n
i 1
Xi
s ,
gdzie
Wykorzystując ten wzór rozkład można
X i s hI i Bi s ,
wyznaczyć wykorzystując metodę szybkiej
przy czym:
transformaty Fouriera (FFT)
- X i , Bi - funkcje charakterystyczne odpowiednio
zmiennej losowej X i oraz Bi ,
- hI i 1 qi qi s - funkcja tworząca zmiennej losowej
zero-jedynkowej.
2012-10-27
50
Operację splotu
Rozkład zmiennej…
…. Z definicji
g ( y) PY y P X1 X 2 y
g (0) p(0) f (0) 0,25 0,5 0,125
g (1) p(1) f (0) 0,25 0,5 0,125
g (2) p(2) f (0) 0,5 0,5 0,25
g (3) p(0) f (3) 0,25 0,5 0,125
g (4) p(1) f (3) 0,25 0,5 0,125
g (5) p(2) f (3) 0,5 0,5 0,25
y
g ( y) PY y
2012-10-27
0
0,125
1
0,125
2
0,250
3
0,125
4
0,125
5
0,250
29
2. Wykorzystując funkcję tworzącą…
… przedstawiamy za pmocą wektorów o
długości m, tak aby były spełnione dwa następujące
j
warunki: m 2 (m musi być potęgą 2) oraz m n k 1
2. Stosujemy FFT do każdego z tak wyznaczonych
~ FFT (p) , ~ FFT (f )
f
wektorów. Otrzymujemy: p
2012-10-27
45
~ p ~ (jest to iloczyn po
3. Wyznaczamy iloczy g ~ f
współrzędnych, którymi są liczby zespolone)
g
4. Stosujemy odwrotną transformatę Fouriera…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)