Metody aktuarialne 2

Nasza ocena:

3
Pobrań: 301
Wyświetleń: 1512
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Metody aktuarialne 2 - strona 1 Metody aktuarialne 2 - strona 2 Metody aktuarialne 2 - strona 3

Fragment notatki:

Metody aktuarialne  Wykład 2  Indywidualny   i kolektywny model  ryzyka  2012-10-27  2  1. Portfel  ubezpieczeń  2012-10-27  3  Portfel ubezpieczeń  Ilościowy zbiór ryzyk w znaczeniu przedmiotu  ubezpieczenia, jakie obsługuje zakład ubezpieczeń.   Wszystkie ubezpieczenia prowadzone przez dane  towarzystwo ubezpieczeń.    Wszystkie ubezpieczenia danej grupy.  Utworzony zbiór jednorodnych ryzyk (np. w celu  oceny ich szkodowości, ustalenia składki, tworzenia  rezerw techniczno-ubezpieczeniowych, podjęcia  decyzji reasekuracyjnych ).     2012-10-27  4  Formalnie   portfelem  ubezpieczeń   będziemy  nazywać  zbiór  ryzyk     X X X ,..., , 2 1   określonego  typu,  które  są  zmiennymi losowymi.  2012-10-27  5  W dalszym ciągu będziemy zainteresowani tzw.  wielkością  portfela ,  czyli  sumą  zmiennych  losowych   X X X Z     ... 2 1    Podstawowe  znaczenie  w  ocenie  ryzyka  ubezpieczeniowego  danego  portfela  (będącego  podstawą  podejmowania  decyzji  dotyczących  wysokości  składki,  wysokości  rezerw  techniczno-ubezpieczeniowych,  rodzaju  reasekuracji) ma wyznaczenie:    momentów  (w  szczególności  średniej  i  wariancji)  zmiennej  Z ;    rozkładu zmiennej  Z .  2012-10-27  6  W  celu  wyznaczenia  charakterystyk  liczbowych  i  rozkładu  zmiennej  Z   stosuje się dwa zasadnicze podejścia:    wielkość  portfela   Z   ( ryzyko  portfela)   modeluje  się  jako  sumę  odszkodowań  (wypłat)  pochodzących  z  różnych  i  zidentyfikowanych  polis,  które  tworzą  portfel  zamknięty  ( indywidualny  model  ryzyka) .  W  tym  przypadku  κ  jest  ustaloną  liczbą  ryzyk  (polis)  tworzących  portfel  (dalej  będziemy przyjmować, że  n   ) .   2012-10-27  7      wielkość  portfela   Z   ( ryzyko  portfela)   modeluje  się  jako  sumę  kolejnych  odszkodowań  (wypłat)  pochodzących  z   danego  portfela  bez  identyfikowania  polis.  Mówimy  wówczas  o  portfelu  otwartym  ( kolektywny  model  ryzyka) .  W  tym  przypadku  κ  jest  zmienną  losową  opisującą  liczbę  szkód  (wypłat)  w  portfelu  (w  ustalonym  okresie czasu)   (dalej będziemy przyjmować, że  K   ).  2012-10-27  8  2. Indywidualny model ryzyka  2012-10-27  9  Indywidualny  model  ryzyka   wykorzystuje  się  do  modelowania łącznych szkód w portfelu złożonym z 

(…)

… w postaci:
Var Z   Var B   E K   Var K   E B  .
2
2012-10-27
19
Funkcja tworząca momenty zmiennej losowej Z jest równa:

M Z s   E e
s  X 1 ... X n 
   M s  ,
n
i 1
gdzie

Xi

M X i s   hIi M Bi s   pi  qi M Bi (s) ,
przy czym:
- M X i , M Bi - funkcje charakterystyczne odpowiednio zmiennej
losowej X i oraz Bi ,
- hI i  1  qi  qi  s - funkcja tworząca zmiennej losowej zerojedynkowej.
2012-10-27
20
Stąd momenty zwykłe rzędy r zmiennej Z są równe:
(
r ,Z  E Z r   M Zr ) (0), r  1,2,3,... .
Funkcja tworząca (generująca) kumulanty
CZ (s)  ln M Z (s)
Kumulantą rzędu r zmiennej losowej Z
nazywamy liczę:
(r )
 r  CZ (0)
Stąd:
1. E (Z )   Z ,1
2
2. Var (Z )   Z   Z , 2
3.
3
 3
Z
(skośność)
4
4.  2   4 (kurtoza)
Z
3. Kolektywny model ryzyka…
… X1, X 2 ,... .
2012-10-27
28
 Parametry rozkładu zmiennej Z najłatwiej opisać
wykorzystując funkcję tworzącą momenty
Funkcję tworzącą momenty (ftm) zmiennej Z można
otrzymać w następujący sposób:
  
 
M Z ( s )  E e sZ  E E e sZ / K  E M X s K



 E e K ln M X  s   M K ln M X s .
2012-10-27
29
Funkcja tworząca momenty zmiennej modelującej łączne
szkody ma postać:
M Z ( s)  M K ln M X s 
lub
M Z ( s)  hK M X s 
Funkcja charakterystyczna:
Z ( s)  hK  X s .
Funkcja tworząca:
2012-10-27
hZ ( s)  hK hX s .
30
Wartość oczekiwana
EZ   EK  E X    K  X
Wariancja
Var Z   Var K   E  X   E K  Var  X  
2
2
2
  K ( X ) 2   K X
2012-10-27
31
Moment centralny rzędu trzeciego:


c
E ( Z  E ( Z ))3   Z ,3 

c
   X…
… ,3
c
 3 K , 2
c
  X   X ,2

c
 K ,3 
 X 
3
Charakterystyki liczbowe można także otrzymać
wykorzystując funkcję generującą kumulanty
(jak w modelu ryzyka indywidualnego).
2012-10-27
32
Szczególne przypadki
Gdy K ma rozkład Poissona z parametrem λ , to
zmienna Z ma złożony rozkład Poissona o
parametrach  , FX ( ZPo , FX  )
Wtedy:
1. Z     X
c
2. Var ( Z )  Z , 2     X , 2
c
3. Z ,3     X ,3
4.  Z , 4   X , 4
2012-10-27
33
Gdy K ma rozkład dwumianowy o parametrach: m, q,
to zmienna Z ma złożony rozkład dwumianowy o
parametrach m, q, FX ( ZDwm, q, FX )
Wtedy:
1. Z  m  q   X
c
2. Var ( Z )  Z , 2  m  q  (  X , 2  q  (  X )2 )
c
Z ,3  m  q  (  X ,3  3q   X   X ,2  2q 2  (  X )3 )
3.
 Z , 4  m  q  (  X , 4  4q   X   X ,3  3q…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz