Metody aktuarialne Podstawowe rozkłady skokowe i ciągłe Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej 2012-10-27 2 Rozkład Poissona Zmienna losowa K podlega rozkładowi Poissona jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa określona jest następującym wzorem: .... , 1 , 0 , ! k e k k K P p k k 2012-10-27 3 Rozkład Poissona 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,1 0,4 0,7 1 1,3 1,6 1,9 2,2 2,5 2012-10-27 4 Rozkład Poissona 2. Wariancja: 3. Odchylenie standardowe: 2 1. Wartość oczekiwana: K E Własności rozkładu Poissona 2012-10-27 5 Rozkład Poissona 4. Współczynnik zmienności: 5. Skośność: K V 1 6. Kurtoza: 1 2 2012-10-27 6 Rozkład Poissona 7. Funkcja tworząca: 8. Funkcja tworząca momenty: ) 1 ( ) ( s K e s h ) 1 ( ) ( s e K e s M 2012-10-27 7 Rozkład Poissona 9. Estymator parametru dla rozkładu Poissona otrzymany metodą momentów i metodą największej wiarygodności jest taki sam i wyraża się wzorem: n n k k k 0 ˆ 2012-10-27 8 Rozkład Poissona Jest to estymator nieobciążony tzn. ˆ E a jego wariancja wynosi: n Var ˆ 2012-10-27 9 Rozkład Poissona Liczba wypadków na rok Liczba kierowców 0 81 714 1 11 306 2 1 618 3 250 4 40 5 7 94 935 Ćwiczenie ! Sprawdzić, czy na podstawie poniższych danych można uznać, że liczba szkód na polisę można modelować rozkładem Poissona 2012-10-27 10 Rozkład Poissona Przykład Opracować model dla dziennej liczby szkód generowanych przez pewien portfel ubezpieczeń (zbiór polis). Wiadomo że w ciągu roku dla tego portfela zanotowano następującą dzienną liczbę szkód: 2012-10-27 11 Rozkład Poissona Dzienna liczba roszczeń k Zaobserwowana liczba dni k n 0 50 1 97 2 108 3 62 4 25 5 14 6 4 7 3 8 2 2012-10-27 12 Rozkład Poissona Szacujemy model Poissona: .... , 1 , 0 , ! k e k k K P p k k Oszacowanie parametru
(…)
…
wiarygodności.
2012-10-27
42
Wybrane rozkłady
zmiennej losowej ciągłej
2012-10-27
43
Rozkład jednostajny
Rozkład jednostajny J(a,b). Mówimy, że zmienna
losowa X ma rozkład jednostajny z parametrami J(a,b),
jeżeli jej gęstość dana jest wzorem:
1
, gdy x a, b
f ( x) b a
0,
poza tym.
2012-10-27
44
Rozkład jednostajny
Rozkład J(5, 15)
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
2012-10-27
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
45
Rozkład jednostajny
Własności:
ab
1. E X
,
2
b a 2
2. Var X
12
3. 0
4. Funkcja tworząca momenty:
e e
M X ( s)
(b a) s
bs
2012-10-27
as
46
Rozkład normalny
Rozkład normalny N(,). Zmienna losowa X ma
rozkład normalny o parametrach N(,), jeżeli jej gęstość
jest postaci:
1
f x
e
2
gdzie R, 0.
2012-10-27
x 2
2 2
, xR,
47…
…-27
20
25
E(X) = 15
30
35
40
45
E(X) = 20
63
Rozkład gamma
Rozkad gamma (E(X) = 20)
0,1
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0
0
5
10
15
Var(X) = 20
2012-10-27
20
25
Var(X) = 50
30
35
40
45
Var(X) = 100
64
Rozkład wykładniczy
1
Rozkład wykładniczy Ex(λ). Rozkład gamma G1,
nazywamy rozkładem wykładniczym. Funkcje gęstości
tego rozkładu ma postać:
e x , gdy x 0
f ( x…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)