To tylko jedna z 43 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
II. Wprowadzenie do mechaniki ciał odkształcalnych 1. Stan napręŜenia 2. Stan deformacji 3. Równania fizyczne ZałoŜenia ogólne: O ośrodku ciągłym -materia w obrębie ciała wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Zaniedbuje się mikro-strukturę atomową i cząsteczkową. Wszystkie pola fizyczne opisujące 1,2,3 są opisane są ciągłymi funkcjami połoŜenia X O równowadze ciała -rozwaŜamy ciała pozostające w równowadze (brak ruchu) w przyjętym układzie odniesienia 1. Stan napręŜenia 1.1 Wektor napręŜenia p NapręŜenie jest wektorem gęstości sił wewnętrznych A A ∆ ∆ = → ∆ f p 0 lim 12 f ∆ -wypadkowa sił działających na element powierzchniowy części 1 ciała , pochodzących od części 2 = A ∆ zaleŜy:1) od połoŜenia punktu x na płaszczyźnie dzielącej 2) od nachylenia płaszczyzny n p ( ) n x, p p = 12 f ∆ 21 f ∆ 1 2 n A ∆ 21 f ∆ − 1.2 Rozkład wektora napręŜenia na napręŜenie styczne i normalne τ n σ 1 n τ n σ p ( ) ( ) 2 2 2 Z Y X n n n n n n τ τ τ τ σ σ + + = = ⋅ − = − = ⋅ = ⋅ = = + = τ n n p p σ p τ n n p σ n σ n p σ τ p o o o miara rzutu wektora napręŜenia na kier. normalny wektor napręŜenia normalnego (składowa normalna wektora napręŜenia) wektor napręŜenia stycznego (składowa styczna wektora napręŜenia) wartość napręŜenia stycznego (długość wektora napręŜenia stycznego) 1.3 Stan napręŜenia Zbiór wszystkich wektorów napręŜenia w danym punkcie przy dowolnych płaszczyznach podziału zawierających punkt. Jest to zbiór o nieskończenie wielkiej liczbie elementów. Problem reprezentacji stanu napręŜenia: szukamy skończonego zbioru liczb przy pomocy którego moŜna utworzyć wektor napręŜeń dla dowolnej płaszczyzny o wersorze normalnym ) , ( n x p p o = 1 π N π 2 π 1 p 2 p N p o x n Propozycja - wektory napręŜeń określone względem płaszczyzn układu współrzędnych {X,Y,Z}: X Y Z 1. płaszczyzna dzieląca prostopadła do osi X 2. –’’ – prostopadła do osi Y 3. –’’ – prostopadła do osi Z ) 0 , 0 , 1 ( = X n ) 0 , 1 , 0 ( = Y n ) 1 , 0 , 0 ( = Z n ) , , ( : XZ XY XX X σ σ σ p ) , , ( : YZ YY YX Y σ σ σ p ) , , ( : ZZ ZY ZX Z σ σ σ p z współrzędnych tych tworzymy
(…)
…
∂x ∂y ∂z
σ ZX + dσ ZX równanie równowagi w kierunku X
X dX
dZ σ YX
r. równowagi (Naviera) we wszystkich kierunkach:
∂σ XX ∂σ YX ∂σ ZX
∂x + ∂y + ∂z + bX = 0
bX siły objętościowe
∂σ XY ∂σ YY ∂σ ZY
+ + + bY = 0 ; b = bY
∂x ∂y ∂z
bZ
∂σ XZ + ∂σ YZ + ∂σ ZZ + b = 0
∂x
∂y ∂z
Z
3 równania róŜniczkowe o pochodnych cząstkowych, 6 funkcji niewiadomych
zapis r. Naviera…
… ) =
= (28.28, 17.67, − 17.67 )MPa
wartość napręŜenia stycznego:
τ = τ = τ X + τ Y + τ Z = 28.282 + 17.672 + (− 17.67 )2 = 37.73MPa
2 2 2
1.7 Równania równowagi (Claude Louis Marie Henri Navier, 1785 - 1836 Francja)
RozwaŜamy pole napręŜeń w ciele, pozostającym pod wpływem sił zewnętrznych
i siły objętościowych b (masowych, np. siła grawitacji), będącym w równowadze.
Pole napręŜeń jest zmienne w przestrzeni…
…) dla tensora napręŜeń 2x2 (PSN)
σ XX σ XY
Tσ =
σ XY σ YY
Szukamy wartości σ oraz wektorów v , takich Ŝe:
Tσ ⋅ v = σv ⇔ (Tσ − σ 1)v = 0
σ XX − σ σ XY
det (Tσ − σ 1) = 0 ⇔
równanie algebraiczne 2 stopnia
=0
σ XY σ YY − σ (wiekowe)
(σ XX − σ )(σ YY − σ ) − σ XY = 0
2
σ 2 − (σ XX + σ YY )σ + σ XX ⋅ σ YY − σ XY = 0
2
∆ = (σ XX + σ YY ) − 4(σ XX ⋅ σ YY − σ XY ) ≥ 0
2 2 istnieją 2 pierwiastki
rzeczywiste
σ…
…
1.7 Równania równowagi (Claude Louis Marie Henri Navier, 1785 - 1836 Francja)
RozwaŜamy pole napręŜeń w ciele, pozostającym pod wpływem sił zewnętrznych
i siły objętościowych b (masowych, np. siła grawitacji), będącym w równowadze.
Pole napręŜeń jest zmienne w przestrzeni, Tσ = Tσ ( X , Y , Z ) .
Czy zmienność ta jest dowolna? Nie – podlega ona równaniom równowagi (Naviera).
Y
np. w kier.X-
Z
∑ X = 0…
… ≥ σ III -j.w., uporządkowane wg wielkości
Wyznaczenie kierunków głównych (wektorów własnych)
Dana i-ta wartość własna σ i
(1) (σ 11 − σ i )v1(i ) + σ 12 v2(i ) + σ 13v3(i ) = 0
(2) σ 21v1(i ) + (σ 22 − σ i )v2i ) + σ 23 v3i ) = 0
( (
(3) σ 31v1(i ) + σ 32 v2i ) + (σ 33 − σ i )v3i ) = 0
( (
(i ) 2 (i ) 2 (i ) 2
(4) v1 + v 2 + v3 =1 długość wektora normalnego=1 (wersora)
Sposób rozwiązania…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)